📘 দশম শ্ৰেণীৰ গণিত (অসমীয়া মাধ্যম)
অধ্যায় 4: দ্বিঘাত সমীকৰণ
✨ অনুশীলনী 4.3 – সম্পূৰ্ণ Step-by-Step সমাধান
সমাধান:
দ্বিঘাত সূত্ৰ হ’ল: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
(i) \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = -7, c = 3\)
নিৰ্ণায়ক \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25\)
\(\therefore x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 \pm 5}{4}\)
হয় \(x = \frac{7+5}{4} = 3\) নতুবা \(x = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}\)
নিৰ্ণয় মূল: \(3, \frac{1}{2}\)
(ii) \(2x^2 + x - 4 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = 1, c = -4\)
নিৰ্ণায়ক \(D = 1^2 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33\)
\(\therefore x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\)
নিৰ্ণয় মূল: \(\frac{-1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}\)
(iii) \(4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0\)
ইয়াত, \(a = 4, b = 4\sqrt{3}, c = 3\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (4\sqrt{3})^2 - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0\)
\(\therefore x = \frac{-4\sqrt{3} \pm 0}{2(4)} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
মূল: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(iv) \(2x^2 + 5\sqrt{3}x + 6 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = 5\sqrt{3}, c = 6\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (5\sqrt{3})^2 - 4(2)(6) = 75 - 48 = 27\)
\(\therefore x = \frac{-5\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{2(2)} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}\)
হয় \(x = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) নতুবা \(x = \frac{-8\sqrt{3}}{4} = -2\sqrt{3}\)
নিৰ্ণয় মূল: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3}\)
(v) \(x^2 + 4x + 1 = 0\)
ইয়াত, \(a = 1, b = 4, c = 1\)
নিৰ্ণায়ক \(D = 4^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12\)
\(\therefore x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2(1)} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}\)
নিৰ্ণয় মূল: \(-2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3}\)
(vi) \(4x^2 + x - 3 = 0\)
ইয়াত, \(a = 4, b = 1, c = -3\)
নিৰ্ণায়ক \(D = 1^2 - 4(4)(-3) = 1 + 48 = 49\)
\(\therefore x = \frac{-1 \pm 7}{8}\)
হয় \(x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) নতুবা \(x = \frac{-8}{8} = -1\)
নিৰ্ণয় মূল: \(\frac{3}{4}, -1\)
(vii) \(abx^2 + (b^2 - ac)x - bc = 0\)
ইয়াত, \(a = ab, b = (b^2 - ac), c = -bc\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (b^2 - ac)^2 - 4(ab)(-bc)\)
\(\Rightarrow D = (b^2 - ac)^2 + 4ab^2c\)
\(\Rightarrow D = (b^2 + ac)^2\)
\(\therefore x = \frac{-(b^2 - ac) \pm (b^2 + ac)}{2ab}\)
হয় \(x = \frac{-b^2 + ac + b^2 + ac}{2ab} = \frac{2ac}{2ab} = \frac{c}{b}\)
নতুবা \(x = \frac{-b^2 + ac - b^2 - ac}{2ab} = \frac{-2b^2}{2ab} = -\frac{b}{a}\)
নিৰ্ণয় মূল: \(\frac{c}{b}, -\frac{b}{a}\)
(viii) \(x^2 - 2ax + (a^2 - b^2) = 0\)
ইয়াত, \(a = 1, b = -2a, c = (a^2 - b^2)\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 - b^2)\)
\(\Rightarrow D = 4a^2 - 4a^2 + 4b^2 = 4b^2\)
\(\therefore x = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{4b^2}}{2(1)} = \frac{2a \pm 2b}{2} = a \pm b\)
নিৰ্ণয় মূল: \(a + b, a - b\)
(ix) \(a(x^2 + 1) = x(a^2 + 1)\)
সজাই লৈ: \(ax^2 - (a^2 + 1)x + a = 0\)
ইয়াত, \(a = a, b = -(a^2 + 1), c = a\)
নিৰ্ণায়ক \(D = [-(a^2 + 1)]^2 - 4(a)(a)\)
\(\Rightarrow D = (a^2 + 1)^2 - 4a^2 = (a^2 - 1)^2\)
\(\therefore x = \frac{(a^2 + 1) \pm (a^2 - 1)}{2a}\)
হয় \(x = \frac{2a^2}{2a} = a\) নতুবা \(x = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}\)
নিৰ্ণয় মূল: \(a, \frac{1}{a}\)
(x) \(8x(2x - 1) + 1 = 0\)
সজাই লৈ: \(16x^2 - 8x + 1 = 0\)
ইয়াত, \(a = 16, b = -8, c = 1\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-8)^2 - 4(16)(1) = 64 - 64 = 0\)
\(\therefore x = \frac{-(-8) \pm 0}{2(16)} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\)
নিৰ্ণয় মূল: \(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
সমাধান:
দিয়া আছে সমীকৰণটো—
\(\dfrac{x-2}{x-3} + \dfrac{x-4}{x-5} = \dfrac{10}{3}\)
বাওঁপক্ষৰ ল.সা.গু লৈ পাওঁ:
\(\dfrac{(x-2)(x-5) + (x-4)(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \dfrac{10}{3}\)
\(\Rightarrow \dfrac{(x^2 - 5x - 2x + 10) + (x^2 - 3x - 4x + 12)}{x^2 - 5x - 3x + 15} = \dfrac{10}{3}\)
\(\Rightarrow \dfrac{(x^2 - 7x + 10) + (x^2 - 7x + 12)}{x^2 - 8x + 15} = \dfrac{10}{3}\)
\(\Rightarrow \dfrac{2x^2 - 14x + 22}{x^2 - 8x + 15} = \dfrac{10}{3}\)
বজ্ৰ গুণন কৰি পাওঁ:
\(3(2x^2 - 14x + 22) = 10(x^2 - 8x + 15)\)
\(\Rightarrow 6x^2 - 42x + 66 = 10x^2 - 80x + 150\)
\(\Rightarrow 10x^2 - 6x^2 - 80x + 42x + 150 - 66 = 0\)
\(\Rightarrow 4x^2 - 38x + 84 = 0\)
2-ৰে হৰণ কৰি পাওঁ (আদৰ্শ ঠাঁচ):
\(2x^2 - 19x + 42 = 0\)
\(\Rightarrow 2x(x - 6) - 7(x - 6) = 0\)
\(\Rightarrow (x - 6)(2x - 7) = 0\)
গতিকে,
হয় \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)
নতুবা \(2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{7}{2}\)
নিৰ্ণেয় মূলদ্বয় হ’ল: \(6\) আৰু \(\dfrac{7}{2}\)।
সমাধান:
(i) \(x - \frac{1}{x} = 3,\; x \ne 0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2 - 1}{x} = 3\)
\(\Rightarrow x^2 - 1 = 3x\)
\(\Rightarrow x^2 - 3x - 1 = 0\)
ইয়াত, \(a = 1, b = -3, c = -1\)
দ্বিঘাত সূত্ৰমতে: \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\)
\(\Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(\frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\)
(ii) \(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-7} = \frac{11}{30}\)
\(\Rightarrow \frac{(x-7) - (x+4)}{(x+4)(x-7)} = \frac{11}{30}\)
\(\Rightarrow \frac{x - 7 - x - 4}{x^2 - 7x + 4x - 28} = \frac{11}{30}\)
\(\Rightarrow \frac{-11}{x^2 - 3x - 28} = \frac{11}{30}\)
\(\Rightarrow -1 = \frac{x^2 - 3x - 28}{30}\)
\(\Rightarrow x^2 - 3x - 28 = -30\)
\(\Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 - 2x - x + 2 = 0\)
\(\Rightarrow x(x-2) - 1(x-2) = 0 \Rightarrow (x-2)(x-1) = 0\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(1, 2\)
(iii) \(\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{3}x - 1 = 0\)
গোটেই সমীকৰণটোক ৩-ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow 2x^2 - x - 3 = 0\)
\(\Rightarrow 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 0\)
\(\Rightarrow x(2x - 3) + 1(2x - 3) = 0\)
\(\Rightarrow (2x - 3)(x + 1) = 0\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(\frac{3}{2}, -1\)
(iv) \(2x^2 + \frac{1}{2} = 2x\)
গোটেই সমীকৰণটোক ২-ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow 4x^2 + 1 = 4x\)
\(\Rightarrow 4x^2 - 4x + 1 = 0\)
\(\Rightarrow (2x)^2 - 2(2x)(1) + (1)^2 = 0\)
\(\Rightarrow (2x - 1)^2 = 0\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\)
(v) \(x + \frac{1}{x} = 2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} = 2\)
\(\Rightarrow x^2 + 1 = 2x\)
\(\Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0\)
\(\Rightarrow (x - 1)^2 = 0\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(1, 1\)
(vi) \(\frac{5x-6}{4x-1} = \frac{2x+3}{3x+2}\)
বজ্ৰ গুণন কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow (5x-6)(3x+2) = (2x+3)(4x-1)\)
\(\Rightarrow 15x^2 + 10x - 18x - 12 = 8x^2 - 2x + 12x - 3\)
\(\Rightarrow 15x^2 - 8x - 12 = 8x^2 + 10x - 3\)
\(\Rightarrow 7x^2 - 18x - 9 = 0\)
\(\Rightarrow 7x^2 - 21x + 3x - 9 = 0\)
\(\Rightarrow 7x(x-3) + 3(x-3) = 0 \Rightarrow (x-3)(7x+3) = 0\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(3, -\frac{3}{7}\)
প্ৰশ্ন 4. আজিৰপৰা 3 বছৰ আগৰ আৰু 5 বছৰ পিছৰ ৰহমানৰ বয়সৰ প্ৰতিক্ৰমবোৰৰ যোগফল \(\frac{1}{3}\)। তেওঁৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰাহ’ল ৰহমানৰ বৰ্তমান বয়স = \(x\) বছৰ।3 বছৰ আগৰ বয়স = \((x - 3)\) বছৰ।
5 বছৰ পিছৰ বয়স = \((x + 5)\) বছৰ।
প্ৰশ্নমতে,
\(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{(x+5) + (x-3)}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2x + 2}{x^2 + 2x - 15} = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(2x + 2) = x^2 + 2x - 15\)
\(\Rightarrow 6x + 6 = x^2 + 2x - 15\)
\(\Rightarrow x^2 - 4x - 21 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 - 7x + 3x - 21 = 0\)
\(\Rightarrow (x - 7)(x + 3) = 0\)
যিহেতু বয়স ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে, গতিকে \(x = 7\)।
উত্তৰ: ৰহমানৰ বৰ্তমান বয়স 7 বছৰ।
প্ৰশ্ন 5. এটা শ্ৰেণী-পৰীক্ষাত শেৱালিৰ গণিতৰ নম্বৰ আৰু ইংৰাজীৰ নম্বৰ দুটাৰ যোগফল 30। তাই যদি গণিতত 2 নম্বৰ বেছি আৰু ইংৰাজীত 3 নম্বৰ কম পালেহেঁতেন, তেন্তে এই নম্বৰ দুটাৰ পূৰণফল 210 হ'লহেঁতেন। তাইৰ বিষয় দুটাত পোৱা নম্বৰবোৰ উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰাহ’ল গণিতত পোৱা নম্বৰ = \(x\)।গতিকে ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = \((30 - x)\)।
প্ৰশ্নমতে,
\((x + 2) \times (30 - x - 3) = 210\)
\(\Rightarrow (x + 2)(27 - x) = 210\)
\(\Rightarrow 27x - x^2 + 54 - 2x = 210\)
\(\Rightarrow -x^2 + 25x + 54 - 210 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 - 25x + 156 = 0\)
\(\Rightarrow (x - 12)(x - 13) = 0\)
অৰ্থাৎ, \(x = 12\) বা \(x = 13\)।
উত্তৰ: যদি গণিতত 12 পায় তেন্তে ইংৰাজীত 18 পাব, আৰু যদি গণিতত 13 পায় তেন্তে ইংৰাজীত 17 পাব।
প্ৰশ্ন 6. এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণৰ দীঘ ইয়াৰ চুটি বাহুটোতকৈ 60 মিটাৰ বেছি। যদি দীঘল বাহুটো চুটি বাহুটোতকৈ 30 মিটাৰ বেছি, তেন্তে পথাৰখনৰ বাহু দুটাৰ দীঘ উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰাহ’ল চুটি বাহুৰ দীঘ = \(x\) মিটাৰ।দীঘল বাহুৰ দীঘ = \((x + 30)\) মিটাৰ আৰু কৰ্ণ = \((x + 60)\) মিটাৰ।
পাইথাগৰাছৰ সূত্ৰমতে,
\(\Rightarrow x^2 + (x + 30)^2 = (x + 60)^2\)
\(\Rightarrow x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600\)
\(\Rightarrow x^2 - 60x - 2700 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0\)
\(\Rightarrow (x - 90)(x + 30) = 0\)
যিহেতু দীঘ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে, গতিকে \(x = 90\)।
উত্তৰ: পথাৰখনৰ চুটি বাহু 90 মিটাৰ আৰু দীঘল বাহু 120 মিটাৰ।
প্ৰশ্ন 7. দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য 180। সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ 8 গুণ। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰাহ’ল ডাঙৰ সংখ্যাটো = \(x\)।সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ = \(8x\)।
প্ৰশ্নমতে,
\(x^2 - 8x = 180\)
\(\Rightarrow x^2 - 8x - 180 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 - 18x + 10x - 180 = 0\)
\(\Rightarrow (x - 18)(x + 10) = 0\)
গতিকে, \(x = 18\) (যিহেতু \(x = -10\) হ'লে বৰ্গ ঋণাত্মক হ'ব, যিটো সম্ভৱ নহয়)।
এতিয়া, সৰু সংখ্যাৰ বৰ্গ = \(8 \times 18 = 144\)।
\(\therefore\) সৰু সংখ্যাটো = \(\sqrt{144} = \pm 12\)।
উত্তৰ: সংখ্যা দুটা হ’ল (18, 12) বা (18, -12)।
প্ৰশ্ন 8. যদি \(3x^2 + 8x + 2 = 0\) সমীকৰণটোৰ মূল \(\alpha\) আৰু \(\beta\) হয়, তেন্তে \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) ৰ মান হ'ব—
সমাধান:
দিয়া সমীকৰণ: \(3x^2 + 8x + 2 = 0\)ইয়াত, \(a = 3, b = 8, c = 2\)।
আমি জানো যে,
মূলদ্বয়ৰ যোগফল \((\alpha + \beta) = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{3}\)
মূলদ্বয়ৰ গুণফল \((\alpha\beta) = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}\)
এতিয়া, \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\)
\(\Rightarrow \frac{-8/3}{2/3} = -\frac{8}{2} = -4\)
শুদ্ধ বিকল্প: (b) \(-4\)
🏫 Digital Pipal Academy ৰ পৰা
অনুশীলনী 4.3 হৈছে দ্বিঘাত সমীকৰণ অধ্যায়ৰ এটা অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ অংশ। এই অনুশীলনীত শিক্ষাৰ্থীয়ে মূল আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক শিকিব পাৰে।
এই অধ্যায়টো Board Exam ৰ বাবে অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ, কাৰণ ইয়াৰ পৰা প্ৰায়ে সোজাসুজি প্রশ্ন আহে। সেইবাবে Digital Pipal Academy ৰ অভিজ্ঞ শিক্ষকসকলে সকলো প্রশ্ন সহজ ভাষাত আৰু step-by-step পদ্ধতিত সমাধান কৰি দিছে।
💡 শিক্ষাৰ্থীৰ বাবে গুৰুত্বপূৰ্ণ টিপছ
✔ a, b, c ঠিককৈ চিনাক্ত কৰক
✔ Negative sign ৰ ক্ষেত্ৰত সাৱধান হওক
✔ সূত্র মুখস্থ নকৰি বুজি শিকক
✔ প্রতিদিন অনুশীলন কৰক
✔ Exam ত সকলো step লিখক
🎯 পৰীক্ষাৰ বাবে বিশেষ গুৰুত্ব
📌 Board Exam ত এই Exercise ৰ পৰা প্রশ্ন অহাৰ সম্ভাৱনা অধিক
📌 Formula-based প্রশ্ন সহজে নম্বৰ কঢ়িয়াই আনে
📌 Step-by-step লিখিলে পূৰ্ণ নম্বৰ পোৱাৰ সম্ভাৱনা বাঢ়ে
🌐 সম্পূৰ্ণ অনুশীলনী ৪.৩ ৰ সমাধান
👉 সকলো প্রশ্নৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান চাবলৈ আমাৰ ৱেবচাইট ভিজিট কৰক—
📣 Digital Pipal Academy ৰ সৈতে যুক্ত থাকক
📺 YouTube: Digital Pipal Academy
📸 Instagram: @pipalacademy
❤️ শেষ কথা
দ্বিঘাত সমীকৰণৰ মূল আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক বুজি পালে এই Exercise অত্যন্ত সহজ হৈ পৰে। নিয়মিত অনুশীলনে আপোনাক গণিতত অধিক আত্মবিশ্বাসী কৰি তুলিব।
📘 Concept বুজক, Practice কৰক, আৰু Board Exam ত Full Marks লাভ কৰক।
Class 10 Maths Chapter 4 – Quadratic Equations (Exercise 4.3) FAQs (অসমীয়া মাধ্যম)
Exercise 4.3 ত Completing the Square Method ব্যৱহাৰ কৰি Quadratic Equation সমাধান কৰা শিকোৱা হয়।
ই এটা algebraic method যাৰ সহায়ত quadratic equation ক perfect square ৰূপলৈ আনিব পাৰি আৰু তাৰ পিছত সহজে সমাধান কৰিব পাৰি।
হয়, এই exercise টো HSLC পৰীক্ষাৰ বাবে অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ। ইয়াৰ পৰা ২–৪ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন অহাৰ সম্ভাৱনা থাকে।
যেতিয়া factorization সহজ নহয় বা equation সহজে factor কৰিব নোৱাৰি, তেতিয়া এই method ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
প্ৰশ্নসমূহত quadratic equation ক square form লৈ ৰূপান্তৰ কৰি roots উলিয়াবলৈ কোৱা হয়।
ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে সাধাৰণতে sign ভুল কৰে অথবা square term যোগ-বিয়োগ কৰাত ভুল হয়।
নিয়মিত অনুশীলন, সূত্র মুখস্থ আৰু previous year questions সমাধান কৰাটো অতি প্ৰয়োজনীয়।
Digital Pipal Academy ত সহজ ভাষাত step-by-step সমাধান, exam-focused preparation আৰু updated syllabus অনুসৰি পাঠ দিয়া হয়।
আপুনি Digital Pipal Academy ত Exercise 4.3 ৰ সম্পূৰ্ণ step-by-step solution সহজে পাব পাৰে।
.png)
