Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials (বহুপদ) Exercise 2.2 Solutions | SCERT Assam SEBA 2026-27 – Digital Pipal Academy
📘 Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials (বহুপদ) Exercise 2.2 Solutions – SCERT Assam SEBA 2026-27
Digital Pipal Academy-লৈ স্বাগতম! এই পোষ্টটোত আপুনি পাব Class 10 Maths Chapter 2: Polynomials (বহুপদ) Exercise 2.2-ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান, যি SCERT Assam / SEBA (ASSEB) 2026-2027 syllabus অনুসৰি প্ৰস্তুত কৰা হৈছে।
Exercise 2.2-ত আপুনি polynomial-ৰ zeroes আৰু coefficients-ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক (relationship) বুজিব, যি exam-ৰ বাবে অতি গুৰুত্বপূর্ণ।
প্ৰশ্ন 1:
তলৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূন্য উলিওৱা আৰু এই শূন্যবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সত্যপন কৰা।
- (i) \(x^2 - 2x - 8\)
- (ii) \(4s^2 - 4s + 1\)
- (iii) \(6x^2 - 7x - 3\)
- (iv) \(4u^2 + 8u\)
- (v) \(t^2 - 15\)
- (vi) \(3x^2 - x - 4\)
- (vii) \(x^2 + 7x + 12\)
- (viii) \(x^2 - 4x + 3\)
- (ix) \(x^2 - 6x - 7\)
- (x) \(2x^2 - 5x - 7\)
\[ x^2 - 2x - 8 = x^2 - (4 - 2)x - 8 \] \[ = x^2 - 4x + 2x - 8 \] \[ = x(x - 4) + 2(x - 4) \] \[ = (x - 4)(x + 2) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ x - 4 = 0 \quad \text{and} \quad x + 2 = 0 \]
\[ \therefore x = 4 \quad \text{and} \quad x = -2 \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = 4 + (-2) = 2 = -\frac{-2}{1} = -\frac{\text{x ৰ সহগ } }{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = 4 \times (-2) = -8 = \frac{-8}{1} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
\[ 4s^2 - 4s + 1 = 4s^2 - (2 + 2)s + 1 \] \[ = 4s^2 - 2s - 2s + 1 \] \[ = 2s(2s - 1) - 1(2s - 1) \] \[ = (2s - 1)(2s - 1) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ 2s - 1 = 0 \]
\[ \therefore s = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = -\frac{-4}{4} = -\frac{\text{} s ৰ সহগ}{\text{} s^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} s^2 ৰ সহগ} \]
\[ 6x^2 - 3 - 7x = 6x^2 - 7x - 3 \] \[ = 6x^2 - (9 - 2)x - 3 \] \[ = 6x^2 - 9x + 2x - 3 \] \[ = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) \] \[ = (2x - 3)(3x + 1) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ 2x - 3 = 0 \quad \text{and} \quad 3x + 1 = 0 \]
\[ \therefore x = \frac{3}{2} \quad \text{and} \quad x = -\frac{1}{3} \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = \frac{3}{2} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{9 - 2}{6} = \frac{7}{6} = -\frac{-7}{6} = -\frac{\text{} x ৰ সহগ}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{2} = \frac{-3}{6} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
\[ 4u^2 + 8u = 4u^2 + 8u + 0 \] \[ = 4u(u + 2) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ 4u = 0 \quad \text{and} \quad u + 2 = 0 \]
\[ \therefore u = 0 \quad \text{and} \quad u = -2 \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = 0 + (-2) = -2 = -\frac{8}{4} = -\frac{\text{} u ৰ সহগ}{\text{} u^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = 0 \times (-2) = 0 = \frac{0}{4} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} u^2 ৰ সহগ} \]
\[ t^2 - 15 = t^2 - (\sqrt{15})^2 \] \[ = (t - \sqrt{15})(t + \sqrt{15}) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ t - \sqrt{15} = 0 \quad \text{and} \quad t + \sqrt{15} = 0 \]
\[ \therefore t = \sqrt{15} \quad \text{and} \quad t = -\sqrt{15} \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0 = -\frac{0}{1} = -\frac{\text{} t ৰ সহগ}{\text{} t^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = \sqrt{15} \times (-\sqrt{15}) = -15 = \frac{-15}{1} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} t^2 ৰ সহগ} \]
\[ 3x^2 - x - 4 = 3x^2 - (4 - 3)x - 4 \] \[ = 3x^2 - 4x + 3x - 4 \] \[ = x(3x - 4) + 1(3x - 4) \] \[ = (3x - 4)(x + 1) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ 3x - 4 = 0 \quad \text{and} \quad x + 1 = 0 \]
\[ \therefore x = \frac{4}{3} \quad \text{and} \quad x = -1 \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = \frac{4}{3} + (-1) = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3} = -\frac{-1}{3} = -\frac{\text{} x ৰ সহগ}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = \frac{4}{3} \times (-1) = -\frac{4}{3} = \frac{-4}{3} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
\[ x^2 + 7x + 12 = x^2 + (3 + 4)x + 12 \] \[ = x^2 + 3x + 4x + 12 \] \[ = x(x + 3) + 4(x + 3) \] \[ = (x + 3)(x + 4) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ x + 3 = 0 \quad \text{and} \quad x + 4 = 0 \]
\[ \therefore x = -3 \quad \text{and} \quad x = -4 \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = (-3) + (-4) = -7 = -\frac{7}{1} = -\frac{\text{} x ৰ সহগ}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = (-3) \times (-4) = 12 = \frac{12}{1} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
\[ x^2 - 4x + 3 = x^2 - (1 + 3)x + 3 \] \[ = x^2 - x - 3x + 3 \] \[ = x(x - 1) - 3(x - 1) \] \[ = (x - 1)(x - 3) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ x - 1 = 0 \quad \text{and} \quad x - 3 = 0 \]
\[ \therefore x = 1 \quad \text{and} \quad x = 3 \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = 1 + 3 = 4 = -\frac{-4}{1} = -\frac{\text{} x ৰ সহগ}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = 1 \times 3 = 3 = \frac{3}{1} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
\[ x^2 - 6x - 7 = x^2 - (7 - 1)x - 7 \] \[ = x^2 - 7x + x - 7 \] \[ = x(x - 7) + 1(x - 7) \] \[ = (x - 7)(x + 1) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ x - 7 = 0 \quad \text{and} \quad x + 1 = 0 \]
\[ \therefore x = 7 \quad \text{and} \quad x = -1 \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = 7 + (-1) = 6 = -\frac{-6}{1} = -\frac{\text{} x ৰ সহগ}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = 7 \times (-1) = -7 = \frac{-7}{1} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
\[ 2x^2 - 5x - 7 = 2x^2 - (7 - 2)x - 7 \] \[ = 2x^2 - 7x + 2x - 7 \] \[ = x(2x - 7) + 1(2x - 7) \] \[ = (2x - 7)(x + 1) \]
বহুপদটোৰ মান শূন্য হব যেতিয়া: \[ 2x - 7 = 0 \quad \text{and} \quad x + 1 = 0 \]
\[ \therefore x = \frac{7}{2} \quad \text{and} \quad x = -1 \]
সত্যাপন:
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি: \[ = \frac{7}{2} + (-1) = \frac{7 - 2}{2} = \frac{5}{2} = -\frac{-5}{2} = -\frac{\text{} x ৰ সহগ}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
শূন্যবোৰৰ গুণফল: \[ = \frac{7}{2} \times (-1) = -\frac{7}{2} = \frac{-7}{2} = \frac{\text{Constant term}}{\text{} x^2 ৰ সহগ} \]
- (i) \(\frac{1}{4}, -1\)
- (ii) \(\sqrt{2}, \frac{1}{3}\)
- (iii) \(0, \sqrt{5}\)
- (iv) \(1, 1\)
- (v) \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
- (vi) \(4, 1\)
(i) \( \frac{1}{4}, -1 \)
Solution:
আমি জানো যে,:
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি \(= \alpha + \beta\)
শূন্য দুটাৰ গুণফল \(= \alpha \beta\)
\[ \alpha + \beta = \frac{1}{4} \] \[ \alpha \beta = -1 \]
যদি \( \alpha \) আৰু \( \beta \) কোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ দুটা শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদটো পোনপটীয়াভাৱে এনেদৰে লিখিব পাৰি:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - \frac{1}{4}x - 1 = 0 \]
Multiplying by 4: \[ 4x^2 - x - 4 = 0 \]
(ii) \( \sqrt{2}, \frac{1}{3} \)
সমাধান:
ইয়াত, শূন্যৰ যোগফল \(= \alpha + \beta = \sqrt{2}\)
শূন্যৰ গুণফল \(= \alpha \beta = \frac{1}{3}\)
আমি জানো যে, যদি \( \alpha \) আৰু \( \beta \) কোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ দুটা শূন্য হয়, তেন্তে বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3} = 0 \]
গোটেই সমীকৰণটোক 3 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ: \[ 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 = 0 \]
(iii) \( 0, \sqrt{5} \)
সমাধান:
দিয়া আছে,
শূন্যৰ যোগফল \(= \alpha + \beta = 0\)
শূন্যৰ গুণফল \(= \alpha \beta = \sqrt{5}\)
আমি জানো যে, যদি \( \alpha \) আৰু \( \beta \) কোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ দুটা শূন্য হয়, তেন্তে বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - (0)x + \sqrt{5} = 0 \]
\[ x^2 + \sqrt{5} = 0 \]
(iv) \( 1, 1 \)
সমাধান:
দিয়া আছে,
শূন্যৰ যোগফল \(= \alpha + \beta = 1\)
শূন্যৰ গুণফল \(= \alpha \beta = 1\)
আমি জানো যে, যদি \( \alpha \) আৰু \( \beta \) কোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ দুটা শূন্য হয়, তেন্তে বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - (1)x + 1 = 0 \]
\[ x^2 - x + 1 = 0 \]
(v) \( -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \)
সমাধান:
দিয়া আছে,
শূন্যৰ যোগফল \(= \alpha + \beta = -\frac{1}{4}\)
শূন্যৰ গুণফল \(= \alpha \beta = \frac{1}{4}\)
আমি জানো যে, যদি \( \alpha \) আৰু \( \beta \) কোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ দুটা শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - \left(-\frac{1}{4}\right)x + \frac{1}{4} = 0 \]
\[ x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} = 0 \]
গোটেই সমীকৰণটোক 4 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ: \[ 4x^2 + x + 1 = 0 \]
(vi) \( 4, 1 \)
সমাধান:
দিয়া আছে,
শূন্যৰ যোগফল \(= \alpha + \beta = 4\)
শূন্যৰ গুণফল \(= \alpha \beta = 1\)
আমি জানো যে, যদি \( \alpha \) আৰু \( \beta \) কোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ দুটা শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 1 = 0 \]
(i) \( -4 \) আৰু \( \frac{3}{2} \)
সমাধান:
ইয়াত, শূন্য দুটা হ'ল \( \alpha = -4 \) আৰু \( \beta = \frac{3}{2} \)
\[ \text{} (\alpha + \beta) = -4 + \frac{3}{2} = \frac{-8 + 3}{2} = -\frac{5}{2} \]
\[ \text{} (\alpha \beta) = -4 \times \frac{3}{2} = -2 \times 3 = -6 \]
নিৰ্ণেয় দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - \left(-\frac{5}{2}\right)x + (-6) = 0 \]
\[ x^2 + \frac{5}{2}x - 6 = 0 \]
গোটেই সমীকৰণটোক 2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ: \[ 2x^2 + 5x - 12 = 0 \]
(ii) \( 5 \) আৰু \( -2 \)
সমাধান:
ইয়াত, শূন্য দুটা হ'ল \( \alpha = 5 \) আৰু \( \beta = -2 \)
\[ \text{} (\alpha + \beta) = 5 + (-2) = 3 \]
\[ \text{} (\alpha \beta) = 5 \times (-2) = -10 \]
নিৰ্ণেয় দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]
(iii) \( \frac{1}{3} \) আৰু \( -1 \)
সমাধান:
ইয়াত, শূন্য দুটা হ'ল \( \alpha = \frac{1}{3} \) আৰু \( \beta = -1 \)
\[ \text{} (\alpha + \beta) = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1 - 3}{3} = -\frac{2}{3} \]
\[ \text{} (\alpha \beta) = \frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3} \]
নিৰ্ণেয় দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - \left(-\frac{2}{3}\right)x + \left(-\frac{1}{3}\right) = 0 \]
\[ x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0 \]
গোটেই সমীকৰণটোক 3 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ: \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \]
(iv) \( \frac{3}{2} \) আৰু \( -2 \)
সমাধান:
ইয়াত, শূন্য দুটা হ'ল \( \alpha = \frac{3}{2} \) আৰু \( \beta = -2 \)
\[ \text{} (\alpha + \beta) = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3 - 4}{2} = -\frac{1}{2} \]
\[ \text{} (\alpha \beta) = \frac{3}{2} \times (-2) = -3 \]
নিৰ্ণেয় দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ব:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]
\[ x^2 - \left(-\frac{1}{2}\right)x - 3 = 0 \]
\[ x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0 \]
গোটেই সমীকৰণটোক 2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ: \[ 2x^2 + x - 6 = 0 \]
- \(a = 1\)
- \(b = -p\)
- ধ্ৰুৱক পদ \(= -p + c\)
- \(A = 1, B = -3, C = -6, D = 8\)
- শূন্যৰ যোগফল \((\alpha + \beta) = -\frac{b}{a}\)
- শূন্যৰ গুণফল \((\alpha\beta) = \frac{c}{a}\)
- \(\alpha + \beta = -\frac{-6}{1} = 6\)
- \(\alpha\beta = \frac{p}{1} = p\)
| স্তম্ভ I | স্তম্ভ II |
|---|---|
| (A) \(x^2 - 7x + 12\) | (P) \(7, -12\) |
| (B) \(x^2 + 7x + 12\) | (Q) \(7, 12\) |
| (C) \(x^2 - 7x - 12\) | (R) \(-7, 12\) |
স্তম্ভ দুটা মিলাবলৈ আমি দ্বিঘাত বহুপদ \(ax^2 + bx + c\) ৰ সূত্ৰ দুটা ব্যৱহাৰ কৰিম:
- শূন্যৰ যোগফল \((\alpha + \beta) = -\frac{b}{a}\)
- শূন্যৰ গুণফল \((\alpha\beta) = \frac{c}{a}\)
| বহুপদ (Column I) | যোগফল \((-\frac{b}{a})\) | গুণফল \((\frac{c}{a})\) | ফলাফল (Column II) |
|---|---|---|---|
| (A) \(x^2 - 7x + 12\) | \(-\frac{-7}{1} = 7\) | \(\frac{12}{1} = 12\) | (Q) 7, 12 |
| (B) \(x^2 + 7x + 12\) | \(-\frac{7}{1} = -7\) | \(\frac{12}{1} = 12\) | (R) -7, 12 |
| (C) \(x^2 - 7x - 12\) | \(-\frac{-7}{1} = 7\) | \(\frac{-12}{1} = -12\) | (P) 7, -12 |
- A ৰ লগত মিলিব Q
- B ৰ লগত মিলিব R
- C ৰ লগত মিলিব P
গতিকে, উক্তি (i) সত্য। Step 2: উক্তি (ii) পৰীক্ষা কৰা বহুপদৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, ইয়াৰ চলকৰ সূচক বা ঘাতবোৰ সদায় অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (যেনে: 0, 1, 2, ...) হ'ব লাগে। যদি চলকটো হৰত থাকে (যেনে: \( \frac{1}{x} \)), তেন্তে ইয়াৰ সূচক ঋণাত্মক (\( x^{-1} \)) হৈ পৰে, যি বহুপদৰ সংজ্ঞাক উলংঘন কৰে।
গতিকে, উক্তি (ii) সত্য। Step 3: সিদ্ধান্ত যিহেতু ওপৰৰ দুয়োটাই উক্তি গাণিতিকভাৱে শুদ্ধ:
- অখণ্ড সংখ্যা নহয়: যিহেতু ই এটা ভগ্নাংশ।
- এটা পৰিমেয় সংখ্যা: কাৰণ ইয়াক \(\frac{a}{b}\) আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।
- অৰিমেয় সংখ্যা নহয়: কাৰণ ইয়াক সৰল ভগ্নাংশ হিচাপে লিখিব পাৰি।
- এটা বাস্তৱ সংখ্যা: সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যাৰ অন্তৰ্গত।
Solution:
Given: For polynomial \(ax^2 + bx + c\), \[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a} \] (i) \(\alpha^2 + \beta^2\) \[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta \] \[ = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\cdot\frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} \] \[ = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} \]Answer: \(\frac{b^2 - 2ac}{a^2}\)
(ii) \(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2\) \[ = (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha\beta \] \[ = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} + \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 2ac + ac}{a^2} \] \[ = \frac{b^2 - ac}{a^2} \]Answer: \(\frac{b^2 - ac}{a^2}\)
(iii) \(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2\) \[ = \alpha\beta(\alpha + \beta) \] \[ = \frac{c}{a} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{bc}{a^2} \]Answer: \(-\frac{bc}{a^2}\)
(iv) \(\alpha - \beta\) \[ (\alpha - \beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta \] \[ = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} \] \[ \Rightarrow \alpha - \beta = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \]Answer: \(\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}\)
(v) \(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta\) \[ = (\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta \] \[ = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 2ac - ac}{a^2} \] \[ = \frac{b^2 - 3ac}{a^2} \]Answer: \(\frac{b^2 - 3ac}{a^2}\)
- \(a = k\)
- \(b = 2\)
- \(c = 3k\)
- শূন্যৰ যোগফল \((\alpha + \beta) = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{k}\)
- শূন্যৰ গুণফল \((\alpha\beta) = \frac{c}{a} = \frac{3k}{k} = 3\)
সমাধান:
Step 1: শূন্যবোৰৰ যোগফল আৰু গুণফল দিয়া বহুপদটো: \[ f(x) = x^2 - 5x + 4 \] \[ \alpha + \beta = 5, \quad \alpha\beta = 4 \] Step 2: \( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \) ৰ মান উলিওৱা \[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{5}{4} \] Step 3: প্ৰদত্ত ৰাশিত মান বহুৱোৱা \[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} - 2\alpha\beta \] \[ = \frac{5}{4} - 2(4) = \frac{5}{4} - 8 \] \[ = \frac{5 - 32}{4} = -\frac{27}{4} \]সমাধান:
Step 1: ত্ৰিঘাত বহুপদৰ সাধাৰণ ৰূপ যদি \( \alpha, \beta, \gamma \) শূন্যবোৰ হয়, তেন্তে ত্ৰিঘাত বহুপদটো হ’ব: \[ x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma \] Step 2: দিয়া মানবোৰ বহুৱোৱা দিয়া আছে: \[ \alpha+\beta+\gamma = 2 \] \[ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -7 \] \[ \alpha\beta\gamma = -14 \] এতিয়া সূত্ৰত বহুৱাই পাওঁ: \[ x^3 - (2)x^2 + (-7)x - (-14) \] Step 3: সৰল কৰা \[ x^3 - 2x^2 - 7x + 14 \]
ব্যাখ্যা: ওলমি থকা দলঙৰ তাঁৰবোৰৰ যি বক্ৰ আকৃতি থাকে তাক গণিতত অধিবৃত্ত (Parabola) বুলি কোৱা হয়।
শুদ্ধ উত্তৰ: (C) অধিবৃত্ত
ব্যাখ্যা: যিহেতু ই এটা অধিবৃত্তাকাৰ আকৃতি, গতিকে ই এটা দ্বিঘাত বহুপদক সূচায়। দ্বিঘাত বহুপদৰ আদৰ্শ ৰূপটো হ'ল \(ax^2 + bx + c\)।
শুদ্ধ উত্তৰ: (b) \(y = ax^2 + bx + c\)
ব্যাখ্যা: যিকোনো বহুপদৰ শূন্যৰ সংখ্যা হৈছে লেখডালে x-অক্ষক যিমানটা বিন্দুত ছেদ কৰে তাৰ সমান।
শুদ্ধ উত্তৰ: (a) \(x\) অক্ষক ছেদ কৰে
ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত বহুপদৰ সূত্ৰটো হ'ল: \(x^2 - (\text{Sum})x + (\text{Product})\)
\(= x^2 - (-3)x + 5\)
\(= x^2 + 3x + 5\)
শুদ্ধ উত্তৰ: (d) \(x^2 + 3x + 5\)
ব্যাখ্যা: যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ লেখচিত্ৰ আঁকিলে ই সদায় এটা অধিবৃত্ত (Parabola) আকৃতি লাভ কৰে।
শুদ্ধ উত্তৰ: (c) অধিবৃত্ত
About the Content Reviewer
Hi! I'm Sudev Chandra Das (B.Sc. Mathematics), the Founder of Digital Pipal Academy. I've dedicated myself to guiding students toward better education. I believe, 'Success comes from preparation, hard work, and learning from failure.' Let’s embark on a journey of growth and digital excellence together!
Note for Users
If you find any incorrect answers, please notify us via Instagram at @pipalacademy or email us at info@pipalacademy.com. For content that may infringe copyright, kindly refrain from copying our content. Thank you for supporting Digital Pipal Academy!
যদি আপুনি কোনো ভুল উত্তৰ পায়, অনুগ্ৰহ কৰি আমাক @pipalacademy ইনষ্টাগ্ৰামৰ জৰিয়তে অৱগত কৰক অথবা info@pipalacademy.com ইমেইলৰ মাধ্যমে আমাক যোগাযোগ কৰক। কপিৰাইট উলংঘা কৰিব পৰা বিষয়বস্তুৰ বাবে, আমাৰ বিষয়বস্তু কপি কৰাৰ পৰা বিৰত থাকক। ডিজিটেল পিপাল একাডেমীক সহায় কৰাৰ বাবে ধন্যবাদ!
Join Our WhatsApp✨ What You Will Learn (আপুনি কি শিকিব)
এই exercise-ত আপুনি শিকিবঃ
Relationship between zeroes and coefficients
Quadratic polynomials (দ্বিঘাত বহুপদ)
Sum of zeroes
Product of zeroes
Algebraic verification methods
📗 Important Formula (অতি গুৰুত্বপূর্ণ সূত্ৰ)
For quadratic polynomial:
ax² + bx + c
Sum of zeroes = −b/a
Product of zeroes = c/a
👉 এই সূত্ৰবোৰ exam-ত বহুত বেছি ব্যৱহাৰ হয়।
📗 Exercise 2.2 Solutions (Step-by-Step)
👉 Question 1: Find zeroes of the polynomial and verify the relationship
✔️ Solution:
Step 1: Polynomial factorize কৰক
Step 2: Zeroes বিচাৰ কৰক
Step 3: Sum আৰু product verify কৰক
👉 Example:
x² − 5x + 6
✔️ Zeroes = 2, 3
✔️ Sum = 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✔️ Verified
✔️ Product = 2 × 3 = 6 ✔️ Verified
👉 Question 2: Find polynomial when zeroes are given
✔️ Solution:
Use formula:
x² − (sum)x + product
👉 Example:
Zeroes = 2, 3
✔️ Polynomial = x² − 5x + 6
👉 Question 3: Verify relationship
✔️ Solution:
Compare coefficient values
Apply formula
Check LHS = RHS
📥 Free PDF Download
সম্পূৰ্ণ Exercise 2.2 solution PDF format-ত download কৰিব পাৰে।
👉 Download Link:
https://pipalacademy.com
🎯 Why Choose Digital Pipal Academy?
Assamese medium সহজ ব্যাখ্যা
Step-by-step solution
SCERT Assam latest syllabus (2026-27)
Exam-focused preparation
Free notes & PDF
Class 10 Maths Exercise 2.2 Assamese
Polynomials Solution Assamese Medium
বহুপদ Exercise 2.2 Solution
SEBA Class 10 Maths Chapter 2
SCERT Assam Maths Solution 2026
Zeroes and Coefficients Class 10
📢 Conclusion
Exercise 2.2-ত zeroes আৰু coefficients-ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক বুজা অতি গুৰুত্বপূর্ণ। এই concept বুজিলে আপুনি সহজে problem solve কৰিব পাৰিব আৰু exam-ত ভাল নম্বৰ লাভ কৰিব পাৰিব।
📌 Call To Action
👉 আমাৰ website follow কৰক
👉 এই post share কৰক আপোনাৰ বন্ধু-বান্ধৱীৰ লগত
👉 Comment কৰি আপোনাৰ doubt জনাওক
.png)
 Exercise 2.2 Solutions – SCERT Assam SEBA 2026-27){kind=link}