Class 10 Maths Exercise 3.3 solutions in Assamese medium
শ্ৰেণী ১০ গণিত অধ্যায় ৩.৩ (Assamese Medium) – সমাধান | SEBA/SCERT Assam 2026
শ্ৰেণী ১০ গণিত অধ্যায় ৩.৩ সম্পূৰ্ণ সমাধান (অসমীয়া মাধ্যম)
SEBA/SCERT Assam 2026 নতুন পাঠ্যসূচীৰ আধাৰত শ্ৰেণী ১০ গণিত অধ্যায় ৩.৩ অসমীয়া মাধ্যমৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান ইয়াত উপলব্ধ। এই অধ্যায়ত দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ বীজগাণিতিক পদ্ধতি — যেনে Substitution Method আৰু Elimination Method সহজকৈ ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা কৰা হৈছে। Digital Pipal Academyৰ পৰা আপুনি পাম সম্পূৰ্ণ সমাধান, উদাহৰণ আৰু বিনামূলীয়া PDF।
আপুনি যদি শ্ৰেণী ১০ গণিত অধ্যায় ৩.৩ অসমীয়া মাধ্যমৰ উত্তৰ বিচাৰি আছে, তেন্তে আপুনি সঠিক ঠাইত আহিছে।
Digital Pipal Academy-এ আপোনালোকৰ বাবে লৈ আহিছে দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ সমাধানৰ বীজগাণিতিক পদ্ধতিৰ সম্পূৰ্ণ আৰু সহজ গাইড, যি সম্পূৰ্ণৰূপে SEBA/SCERT Assamৰ নতুন পাঠ্যসূচীৰ সৈতে মিল ৰাখি তৈয়াৰ কৰা হৈছে।
এই অধ্যায়টো বোৰ্ড পৰীক্ষাৰ বাবে অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ। ইয়াত আপুনি শিকিব কেনেকৈ গ্ৰাফ ব্যৱহাৰ নকৰাকৈ, সোজাকৈ গাণিতিক পদ্ধতিৰে সমীকৰণ সমাধান কৰিব পাৰি। বহু ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে এই অংশটো কঠিন বুলি ভাবে, কিন্তু আমাৰ সহজ ব্যাখ্যা আৰু ধাপে ধাপে সমাধানৰ জৰিয়তে আপুনি ইয়াক সহজে বুজি ল’ব পাৰিব।
1: তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণকেইযোৰ অপনয়ন পদ্ধতিৰে আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা:
(i) \(x + y = 5\) আৰু \(2x - 3y = 4\)
(ii) \(3x + 4y = 10\) আৰু \(2x - 2y = 2\)
(iii) \(3x - 5y - 4 = 0\) আৰু \(9x = 2y + 7\)
(iv) \(\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1\) আৰু \(x - \frac{y}{3} = 3\)
(v) \(\frac{3y}{2} - \frac{5x}{3} = -2\) আৰু \(\frac{y}{3} + \frac{x}{3} = \frac{13}{6}\)
(vi) \(x - y = 3\) আৰু \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 6\)
(i) \(x + y = 5\) আৰু \(2x - 3y = 4\)
অপনয়ন পদ্ধতি (By the method of elimination):
\(x + y = 5 \qquad (i)\)
\(2x - 3y = 4 \qquad (ii)\)
(i) নং সমীকৰণক 2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ—
\(2x + 2y = 10 \qquad (iii)\)
এতিয়া সমীকৰণ (iii) ৰ পৰা (ii) বিয়োগ কৰি পাওঁ—
\(5y = 6\)
\(y = \frac{6}{5} \qquad (iv)\)
\(y\) ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই পাওঁ—
\(x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}\)
\(\therefore x = \frac{19}{5}, \; y = \frac{6}{5}\)
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি (By the method of substitution):
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা পাওঁ—
\(x = 5 - y \qquad (v)\)
\(x\) ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই পাওঁ—
\(2(5 - y) - 3y = 4\)
\(-5y = -6\)
\(y = \frac{6}{5}\)
\(y\) ৰ এই মান (v) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}\)
\(\therefore x = \frac{19}{5}, \; y = \frac{6}{5}\)
(ii) \(3x + 4y = 10\) আৰু \(2x - 2y = 2\)
অপনয়ন পদ্ধতি:
\(3x + 4y = 10 \qquad (i)\)
\(2x - 2y = 2 \qquad (ii)\)
(ii) নং সমীকৰণক 2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ—
\(4x - 4y = 4 \qquad (iii)\)
এতিয়া (i) আৰু (iii) যোগ কৰি পাওঁ—
\(7x = 14\)
\(x = 2 \qquad (iv)\)
\(x\) ৰ মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(6 + 4y = 10\)
\(4y = 4\)
\(y = 1\)
গতিকে, \(x = 2\) আৰু \(y = 1\)
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি:
(ii) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ—
\(x = 1 + y \qquad (v)\)
এই মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(3(1 + y) + 4y = 10\)
\(7y = 7\)
\(y = 1\)
\(y\) ৰ মান (v) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(x = 2\)
\(\therefore x = 2,\; y = 1\)
(iii) \(3x - 5y - 4 = 0\) আৰু \(9x = 2y + 7\)
অপনয়ন পদ্ধতি:
\(3x - 5y - 4 = 0 \qquad (i)\)
\(9x - 2y - 7 = 0 \qquad (ii)\)
(i) নং সমীকৰণক 3 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ—
\(9x - 15y - 12 = 0 \qquad (iii)\)
এতিয়া সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা (iii) বিয়োগ কৰি পাওঁ—
\(13y = -5\)
\(y = -\frac{5}{13} \qquad (iv)\)
\(y\) ৰ মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(3x + \frac{25}{13} - 4 = 0\)
\(3x = \frac{27}{13}\)
\(x = \frac{9}{13}\)
\(\therefore x = \frac{9}{13}, \; y = -\frac{5}{13}\)
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি:
(i) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ—
\(x = \frac{5y + 4}{3} \qquad (v)\)
এই মান (ii) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(9\left(\frac{5y + 4}{3}\right) - 2y - 7 = 0\)
\(13y = -5\)
\(y = -\frac{5}{13}\)
\(y\) ৰ মান (v) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(x = \frac{9}{13}\)
\(\therefore x = \frac{9}{13}, \; y = -\frac{5}{13}\)
(iv) \(\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1\) আৰু \(x - \frac{y}{3} = 3\)
অপনয়ন পদ্ধতি:
সৰল কৰি পাওঁ—
\(3x + 4y = -6 \qquad (i)\)
\(3x - y = 9 \qquad (ii)\)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা (ii) বিয়োগ কৰি পাওঁ—
\(5y = -15\)
\(y = -3 \qquad (iii)\)
\(y\) ৰ মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(3x - 12 = -6\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
গতিকে, \(x = 2, \; y = -3\)
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি:
(ii) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ—
\(x = \frac{y + 9}{3} \qquad (v)\)
এই মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(3\left(\frac{y + 9}{3}\right) + 4y = -6\)
\(5y = -15\)
\(y = -3\)
\(y\) ৰ মান (v) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(x = 2\)
\(\therefore x = 2, \; y = -3\)
(v) \(\frac{3y}{2} - \frac{5x}{3} = -2\) আৰু \(\frac{y}{3} + \frac{x}{3} = \frac{13}{6}\)
অপনয়ন পদ্ধতি:
সৰল কৰি পাওঁ—
\(9y - 10x = -12 \qquad (i)\)
\(2y + 2x = 13 \qquad (ii)\)
(ii) নং সমীকৰণক 5 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ—
\(10y + 10x = 65 \qquad (iii)\)
এতিয়া (i) আৰু (iii) যোগ কৰি পাওঁ—
\(19y = 53\)
\(y = \frac{53}{19}\)
\(y\) ৰ মান (ii) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(2x = 13 - \frac{106}{19} = \frac{141}{19}\)
\(x = \frac{141}{38}\)
\(\therefore x = \frac{141}{38}, \; y = \frac{53}{19}\)
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি:
(ii) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ—
\(x = \frac{13 - 2y}{2}\)
এই মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(9y - 10\left(\frac{13 - 2y}{2}\right) = -12\)
\(19y = 53\)
\(y = \frac{53}{19}\)
\(x = \frac{141}{38}\)
(vi) \(x - y = 3\) আৰু \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 6\)
অপনয়ন পদ্ধতি:
সৰল কৰি পাওঁ—
\(x - y = 3 \qquad (i)\)
\(2x + 3y = 36 \qquad (ii)\)
(i) নং সমীকৰণক 3 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ—
\(3x - 3y = 9 \qquad (iii)\)
এতিয়া (ii) আৰু (iii) যোগ কৰি পাওঁ—
\(5x = 45\)
\(x = 9\)
\(x\) ৰ মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(9 - y = 3\)
\(y = 6\)
\(\therefore x = 9, \; y = 6\)
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি:
(i) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ—
\(x = y + 3\)
এই মান (ii) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\(2(y + 3) + 3y = 36\)
\(5y = 30\)
\(y = 6\)
\(x = 9\)
\(\therefore x = 9, \; y = 6\)
2. তলৰ সমস্যাবোৰৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰ গঠন কৰা আৰু সিহঁতৰ সমাধান (যদি থাকে) অপনয়ন পদ্ধতিৰে উলিওৱা :
সমাধান:
ধৰা হ’ল ভগ্নাংশটো \( \frac{a}{b} \)।
প্ৰথম চৰ্তমতে,
\( \frac{a+1}{b-1} = 1 \)
\( \Rightarrow a + 1 = b - 1 \)
\( \Rightarrow a - b = -2 \qquad \dots (i) \)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে,
\( \frac{a}{b+1} = \frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow 2a = b + 1 \)
\( \Rightarrow 2a - b = 1 \qquad \dots (ii) \)
এতিয়া সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা (i) বিয়োগ কৰি পাওঁ—
\( (2a - b) - (a - b) = 1 - (-2) \)
\( \Rightarrow a = 3 \)
\( a = 3 \) মানটো সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই পাওঁ—
\( 3 - b = -2 \)
\( \Rightarrow -b = -5 \)
\( \Rightarrow b = 5 \)
গতিকে, নিৰ্ণেয় ভগ্নাংশটো হ’ল \( \frac{3}{5} \)।
সমাধান:
ধৰা হ’ল নুৰীৰ বৰ্তমান বয়স \( x \) বছৰ আৰু চনুৰ বৰ্তমান বয়স \( y \) বছৰ।
৫ বছৰ আগতে,
\( x - 5 = 3(y - 5) \)
\( \Rightarrow x - 3y = -10 \qquad \dots (1) \)
১০ বছৰ পিছত,
\( x + 10 = 2(y + 10) \)
\( \Rightarrow x - 2y = 10 \qquad \dots (2) \)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা (1) বিয়োগ কৰি পাওঁ—
\( (x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10) \)
\( \Rightarrow y = 20 \)
\( y = 20 \) মানটো (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\( x - 3(20) = -10 \)
\( \Rightarrow x - 60 = -10 \)
\( \Rightarrow x = 50 \)
গতিকে, নুৰীৰ বৰ্তমান বয়স 50 বছৰ আৰু চনুৰ বৰ্তমান বয়স 20 বছৰ।
সমাধান:
ধৰা হ’ল সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংক \( A \) আৰু দহকৰ ঘৰৰ অংক \( B \)।
গতিকে সংখ্যাটো \( = 10B + A \)।
অংক কেইটাৰ স্থান সলনি কৰিলে হোৱা সংখ্যাটো \( = 10A + B \)।
প্ৰশ্নমতে,
\( A + B = 9 \qquad \dots (i) \)
আৰু,
\( 9(10B + A) = 2(10A + B) \)
\( \Rightarrow 90B + 9A = 20A + 2B \)
\( \Rightarrow 88B - 11A = 0 \)
\( \Rightarrow 8B - A = 0 \qquad \dots (ii) \)
এতিয়া সমীকৰণ (i) আৰু (ii) যোগ কৰি পাওঁ—
\( 9B = 9 \Rightarrow B = 1 \)
\( B = 1 \) মানটো সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই পাওঁ,
\( A + 1 = 9 \Rightarrow A = 8 \)
গতিকে, নিৰ্ণেয় সংখ্যাটো হ’ল \( 10(1) + 8 = 18 \)
সমাধান:
ধৰা হ’ল 50 টকীয়া নোটৰ সংখ্যা \( A \) আৰু 100 টকীয়া নোটৰ সংখ্যা \( B \)।
প্ৰশ্নমতে,
\( A + B = 25 \qquad \dots (i) \)
\( 50A + 100B = 2000 \)
\( \Rightarrow A + 2B = 40 \qquad \dots (ii) \) [50 ৰে হৰণ কৰি]
সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা (i) বিয়োগ কৰি পাওঁ—
\( B = 15 \)
\( B = 15 \) মানটো (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\( A + 15 = 25 \Rightarrow A = 10 \)
গতিকে, মীনাই 50 টকীয়া নোট 10 খন আৰু 100 টকীয়া নোট 15 খন পালে।
সমাধান:
ধৰা হ’ল প্ৰথম তিনিদিনৰ নিৰ্ধাৰিত মাচুল \( A \) টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতিটো দিনৰ অতিৰিক্ত মাচুল \( B \) টকা।
সৰিতাৰ ক্ষেত্ৰত (7 দিন অৰ্থাৎ 3 দিন নিৰ্ধাৰিত + 4 দিন অতিৰিক্ত):
\( A + 4B = 27 \qquad \dots (i) \)
চুচিৰ ক্ষেত্ৰত (5 দিন অৰ্থাৎ 3 দিন নিৰ্ধাৰিত + 2 দিন অতিৰিক্ত):
\( A + 2B = 21 \qquad \dots (ii) \)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা (ii) বিয়োগ কৰি পাওঁ—
\( 2B = 6 \Rightarrow B = 3 \)
\( B = 3 \) মানটো (ii) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
\( A + 2(3) = 21 \)
\( \Rightarrow A + 6 = 21 \Rightarrow A = 15 \)
গতিকে, নিৰ্ধাৰিত মাচুল 15 টকা আৰু প্ৰতিদিনৰ অতিৰিক্ত মাচুল 3 টকা।
3. A আৰু B ৰ মাহেকীয়া উপাৰ্জনৰ অনুপাত \(9:7\) আৰু সিহঁতৰ মাহেকীয়া খৰচৰ অনুপাত \(4:3\)। যদি প্ৰতি গৰাকীয়ে মাহেকত \(1600\) টকা সঞ্চয় কৰে, তেন্তে প্ৰতিগৰাকীৰে মাহেকীয়া উপাৰ্জন নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল A আৰু B-ৰ মাহিলী উপাৰ্জন ক্ৰমে \(9x\) আৰু \(7x\)।
আৰু তেওঁলোকৰ মাহিলী খৰচ ক্ৰমে \(4y\) আৰু \(3y\)।
আমি জানো যে: উপাৰ্জন - খৰচ = সঞ্চয়
প্ৰশ্নমতে, দুয়োৰে মাহিলী সঞ্চয় ১৬০০ টকা। গতিকে আমি তলত দিয়া সমীকৰণ দুটা গঠন কৰিব পাৰো:
\(9x - 4y = 1600 \qquad \dots (i)\)\(7x - 3y = 1600 \qquad \dots (ii)\)
অপনয়ন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰিবলৈ, (i) নং সমীকৰণক \(3\) ৰে আৰু (ii) নং সমীকৰণক \(4\) ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(27x - 12y = 4800 \qquad \dots (iii)\)\(28x - 12y = 6400 \qquad \dots (iv)\)
এতিয়া (iv) নং সমীকৰণৰ পৰা (iii) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
\((28x - 27x) - (12y - 12y) = 6400 - 4800\)\(x = 1600\)
এতিয়া তেওঁলোকৰ মাহিলী উপাৰ্জন হ’ব:
- A-ৰ মাহিলী উপাৰ্জন = \(9x = 9 \times 1600 = 14400\)
- B-ৰ মাহিলী উপাৰ্জন = \(7x = 7 \times 1600 = 11200\)
গতিকে, A আৰু B-ৰ মাহিলী উপাৰ্জন ক্ৰমে 14,400 টকা আৰু 11,200 টকা।
4. এটা শ্ৰেণীৰ শিক্ষাৰ্থীসকলক কিছুমান শাৰীত থিয় কৰোৱা হ'ল। যদি এটা শাৰীত \(3\) গৰাকী শিক্ষাৰ্থী অতিৰিক্ত হয়, তেন্তে শাৰীৰ সংখ্যা \(1\) কম হয়। যদি এটা শাৰীত \(3\) গৰাকী শিক্ষাৰ্থী কম হয়, তেন্তে শাৰীৰ সংখ্যা \(2\) বেছি হয়। শ্ৰেণীটোত থকা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল শাৰীৰ সংখ্যা \(x\) আৰু প্ৰতিটো শাৰীত থকা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা \(y\)
গতিকে, শ্ৰেণীটোত থকা মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = \(xy\)
প্ৰথম চৰ্তমতে, যদি প্ৰতিটো শাৰীত \(3\) জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী বেছি হয়, তেন্তে শাৰীৰ সংখ্যা \(1\) টা কমি যাব:
\(xy = (x - 1)(y + 3)\)\(xy = xy + 3x - y - 3\)
\(3x - y = 3 \qquad \dots (i)\)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে, যদি প্ৰতিটো শাৰীত \(3\) জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী কম হয়, তেন্তে শাৰীৰ সংখ্যা \(2\) টা বাঢ়ি যাব:
\(xy = (x + 2)(y - 3)\)\(xy = xy - 3x + 2y - 6\)
\(-3x + 2y = 6 \qquad \dots (ii)\)
এতিয়া সমীকৰণ (i) আৰু (ii) যোগ কৰি পাওঁ:
\((3x - y) + (-3x + 2y) = 3 + 6\)\(y = 9\)
সমীকৰণ (i) ত \(y = 9\) মানটো বহুৱাই পাওঁ:
\(3x - 9 = 3\)\(3x = 12\)
\(x = 4\)
শ্ৰেণীটোত থকা মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = \(x \times y = 4 \times 9 = 36\)।
গতিকে, শ্ৰেণীটোত মুঠ 36 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে।
5. A আৰু B ৰ প্ৰত্যেকৰে হাতত নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক আম আছে। Aয়ে B ক'লে, “যদি তুমি তোমাৰ পৰা 30 টা মোক দিয়া, মোৰ হাতত থকা আমৰ সংখ্যা হ'ব তোমাৰ হাতত বাকী থকা আমৰ দুগুণৰ সমান।” Bয়ে উত্তৰ দিলে, “যদি তুমি মোক তোমাৰ 10 টা আম দিয়া, মোৰ হাতত থকা আমৰ সংখ্যা হ'ব তোমাৰ হাতত বাকী থকা আমৰ তিনিগুণ।” প্ৰতি গৰাকীৰ হাতত থকা আমৰ পৰিমাণ নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল A-ৰ ওচৰত থকা আমৰ সংখ্যা \(x\) আৰু B-ৰ ওচৰত থকা আমৰ সংখ্যা \(y\)।
প্ৰথম চৰ্তমতে, যদি B-য়ে A-ক 30 টা আম দিয়ে:
\(x + 30 = 2(y - 30)\)\(x + 30 = 2y - 60\)
\(x - 2y = -90 \qquad \dots (i)\)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে, যদি A-য়ে B-ক 10 টা আম দিয়ে:
\(y + 10 = 3(x - 10)\)\(y + 10 = 3x - 30\)
\(3x - y = 40 \qquad \dots (ii)\)
সমীকৰণ (ii)-ক 2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(6x - 2y = 80 \qquad \dots (iii)\)এতিয়া সমীকৰণ (iii)-ৰ পৰা সমীকৰণ (i) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
\((6x - 2y) - (x - 2y) = 80 - (-90)\)\(5x = 170\)
\(x = 34\)
সমীকৰণ (ii)-ত \(x = 34\) মানটো বহুৱাই পাওঁ:
\(3(34) - y = 40\)\(102 - y = 40\)
\(y = 62\)
গতিকে, A-ৰ ওচৰত 34 টা আম আৰু B-ৰ ওচৰত 62 টা আম আছে।
6. যদি \(x + ay = b\) আৰু \(ax + y = 1\) সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে, তেন্তে তলত উল্লেখ কৰা বিকল্পবোৰৰ পৰা শুদ্ধটো বাছি উলিওৱা।
(i) \(a = 1,\; b = 1\)
(ii) \(a = -1,\; b = -1\)
(iii) \(a = 1,\; b = -1\)
(iv) \(a = -1,\; b = 1\)
(a) (i) আৰু (iii) দুয়োটা সত্য।
(b) (ii) আৰু (iv) দুয়োটা সত্য।
(c) (i) আৰু (ii) দুয়োটা সত্য।
(d) (iii) আৰু (iv) দুয়োটা সত্য।
সমাধান:
দিয়া থকা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ হ’ল:
\(1x + ay = b \qquad \dots (1)\)\(ax + 1y = 1 \qquad \dots (2)\)
আমি জানো যে দুটা ৰৈখিক সমীকৰণ \(a_1x + b_1y = c_1\) আৰু \(a_2x + b_2y = c_2\)-ৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থকাৰ চৰ্তটো হ’ল:
\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)
এতিয়া সমীকৰণ দুটাৰ পৰা মানসমূহ বহুৱাই পাওঁ:
\(\frac{1}{a} = \frac{a}{1} = \frac{b}{1}\)প্ৰথম পদক্ষেপ: \(a\)-ৰ মান উলিওৱা
\(\frac{1}{a} = \frac{a}{1}\)\(\Rightarrow a^2 = 1\)
\(\Rightarrow a = 1 \quad \text{or} \quad a = -1\)
দ্বিতীয় পদক্ষেপ: \(b\)-ৰ মান উলিওৱা
- যদি \(a = 1\) হয়:
অনুপাত \(\frac{a}{1} = \frac{b}{1}\)-ৰ পৰা আমি পাওঁ, \(1 = b\)।
গতিকে, \(a = 1, b = 1\) এটা শুদ্ধ সমাধান। (বিকল্প i) - যদি \(a = -1\) হয়:
অনুপাত \(\frac{a}{1} = \frac{b}{1}\)-ৰ পৰা আমি পাওঁ, \(-1 = b\)।
গতিকে, \(a = -1, b = -1\) হ’লেও সমীকৰণটোৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব। (বিকল্প ii)
যিহেতু (i) আৰু (ii) দুয়োটা বিকল্পৰ ক্ষেত্ৰতে চৰ্তটো পূৰণ হয়, গতিকে শুদ্ধ উত্তৰটো হ’ব (c)।
শুদ্ধ বিকল্প: (c) (i) আৰু (ii) দুয়োটা সত্য।
7. \(k\) ৰ কি মানৰ বাবে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰটোৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
\(kx + 3y - (k - 3) = 0\)
\(12x + ky - k = 0\)
(a) \(k = -6\)
(b) \(k = 4\)
(c) \(k = -4\)
(d) \(k = 6\)
সমাধান:
দিয়া থকা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ হ’ল:
\(kx + 3y - (k - 3) = 0 \qquad \dots (1)\)\(12x + ky - k = 0 \qquad \dots (2)\)
আমি জানো যে এযোৰ ৰৈখিক সমীকৰণ \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) আৰু \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\)-ৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থকাৰ চৰ্তটো হ’ল:
\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)
ইয়াত সহগসমূহ হ’ল:
\(a_1 = k, \quad b_1 = 3, \quad c_1 = -(k - 3)\)\(a_2 = 12, \quad b_2 = k, \quad c_2 = -k\)
চৰ্তমতে:
\(\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k - 3)}{-k}\)\(\frac{k}{12} = \frac{3}{k}\)
\(\Rightarrow k^2 = 36\)
\(\Rightarrow k = \pm 6\)
\(\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}\)
\(\Rightarrow 3k = k(k - 3)\)
\(\Rightarrow 3k = k^2 - 3k\)
\(\Rightarrow k^2 - 6k = 0\)
\(\Rightarrow k(k - 6) = 0\)
\(\Rightarrow k = 0 \quad \text{or} \quad k = 6\)
যিহেতু দুয়োটা চৰ্ততে \(k = 6\) মানটোৱে সমীকৰণটো সিদ্ধ কৰে, গতিকে নিৰ্ণেয় মানটো হ’ল \(k = 6\)।
শুদ্ধ বিকল্প: (d) \(k = 6\)
8. দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ সহায়ত এটা কথা সমস্যাৰ সমাধানৰ ঢাপসমূহ তলত উল্লেখ কৰা হৈছে। প্রদত্ত বিকল্পসমূহৰ পৰা শুদ্ধ ক্রমটো বাছি উলিওৱা।
(i) চলক ব্যৱহাৰ কৰি অজ্ঞাতবোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা।
(ii) সমীকৰণবোৰক সমাধান কৰা।
(iii) প্রয়োজনীয় সমীকৰণ গঠন কৰা।
(iv) ফলাফল ব্যাখ্যা কৰা।
(a) (i) → (ii) → (iii) → (iv)
(b) (i) → (iii) → (ii) → (iv)
(c) (iv) → (iii) → (ii) → (i)
(d) (ii) → (i) → (iii) → (iv)
সমাধান:
ৰৈখিক সমীকৰণ ব্যৱহাৰ কৰি কোনো এটা গাণিতিক সমস্যা সমাধান কৰিবলৈ আমি তলত দিয়া ধৰণে আগবাঢ়িব লাগে:
- অজ্ঞাত ৰাশিক চলক হিচাপে ধৰা: পোনপ্ৰথমে সমস্যাটোত যি তথ্য বিচাৰিবলৈ দিয়া হৈছে তাক চলক (যেনে x আৰু y হিচাপে ধৰি ল’ব লাগে।
- সমীকৰণ গঠন কৰা: সমস্যাটোত দিয়া চৰ্ত অনুসৰি চলকসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণবোৰ গঠন কৰিব লাগে।
- সমীকৰণ সমাধান কৰা: বিভিন্ন গাণিতিক পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি গঠন কৰা সমীকৰণসমূহ সমাধান কৰি চলকৰ মান উলিয়াব লাগে।
- ফলাফলৰ ব্যাখ্যা কৰা: শেষত ওলোৱা মানবোৰ মূল সমস্যাটোৰ লগত ৰিজাই চাই প্ৰয়োজনীয় উত্তৰটো লিখিব লাগে।
গতিকে, সঠিক ক্ৰমটো হ’ল (i) → (iii) → (ii) → (iv)।
শুদ্ধ বিকল্প: (b) (i) → (iii) → (ii) → (iv)
9. তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ কেইযোৰ সমাধান কৰা:
(i)
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2\)
\(\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = -1\)
(ii)
\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2\)
\(\frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6}\)
(iii)
\(\frac{5}{x - 1} + \frac{1}{y - 2} = 2\)
\(\frac{6}{x - 1} - \frac{3}{y - 2} = 1\)
সমাধান:
(i)
ধৰা হ’ল \(\frac{1}{x} = u\) আৰু \(\frac{1}{y} = v\)। তেতিয়া সমীকৰণ দুটা হ’ব:\(2u + 3v = 2 \qquad \dots (1)\)
\(4u - 9v = -1 \qquad \dots (2)\)
সমীকৰণ (1)-ক 3 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(6u + 9v = 6 \qquad \dots (3)\)
এতিয়া সমীকৰণ (2) আৰু (3) যোগ কৰি পাওঁ:
\((4u - 9v) + (6u + 9v) = -1 + 6\)
\(10u = 5 \Rightarrow u = \frac{1}{2}\)
সমীকৰণ (1)-ত \(u = \frac{1}{2}\) মানটো বহুৱাই পাওঁ:
\(2(\frac{1}{2}) + 3v = 2 \Rightarrow 1 + 3v = 2 \Rightarrow 3v = 1 \Rightarrow v = \frac{1}{3}\)
এতিয়া, \(\frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2\) আৰু \(\frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3\)।
উত্তৰ: \(x = 2, y = 3\)
(ii)
ধৰা হ’ল \(\frac{1}{x} = u\) আৰু \(\frac{1}{y} = v\)। তেতিয়া সমীকৰণ দুটা হ’ব:\(\frac{u}{2} + \frac{v}{3} = 2 \Rightarrow 3u + 2v = 12 \qquad \dots (1)\)
\(\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow 2u + 3v = 13 \qquad \dots (2)\)
সমীকৰণ (1)-ক 3 ৰে আৰু সমীকৰণ (2)-ক 2 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(9u + 6v = 36 \qquad \dots (3)\)
\(4u + 6v = 26 \qquad \dots (4)\)
সমীকৰণ (3)-ৰ পৰা সমীকৰণ (4) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
\(5u = 10 \Rightarrow u = 2\)
সমীকৰণ (1)-ত \(u = 2\) মানটো বহুৱাই পাওঁ:
\(3(2) + 2v = 12 \Rightarrow 6 + 2v = 12 \Rightarrow 2v = 6 \Rightarrow v = 3\)
এতিয়া, \(\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) আৰু \(\frac{1}{y} = 3 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\)।
উত্তৰ: \(x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}\)
(iii)
ধৰা হ’ল \(\frac{1}{x - 1} = u\) আৰু \(\frac{1}{y - 2} = v\)। তেতিয়া সমীকৰণ দুটা হ’ব:\(5u + v = 2 \qquad \dots (1)\)
\(6u - 3v = 1 \qquad \dots (2)\)
সমীকৰণ (1)-ক ৩ ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(15u + 3v = 6 \qquad \dots (3)\)
এতিয়া সমীকৰণ (2) আৰু (3) যোগ কৰি পাওঁ:
\(21u = 7 \Rightarrow u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}\)
সমীকৰণ (1)-ত \(u = \frac{1}{3}\) মানটো বহুৱাই পাওঁ:
\(5(\frac{1}{3}) + v = 2 \Rightarrow v = 2 - \frac{5}{3} \Rightarrow v = \frac{1}{3}\)
এতিয়া, \(\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{3} \Rightarrow x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4\)
আৰু \(\frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3} \Rightarrow y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5\)।
উত্তৰ: \(x = 4, y = 5\)
10. দুটা অংক বিশিষ্ট সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি 9। যদি অংক দুটাৰ স্থান সালসলনি কৰা হয়, তেন্তে সংখ্যাটো 9 বাঢ়ে পায়। সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল, দহকৰ ঘৰৰ অংকটো \(x\) আৰু এককৰ ঘৰৰ অংকটো \(y\)।
গতিকে, সংখ্যাটো হ’ব \(10x + y\)।
প্ৰথম চৰ্তমতে (অংক দুটাৰ সমষ্টি):
\(x + y = 9 \qquad \dots (1)\)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে (স্থান সালসলনি কৰিলে):
নতুন সংখ্যাটো হ’ব \(10y + x\)।
প্ৰশ্নমতে, \((10y + x) - (10x + y) = 9\)
\(\Rightarrow 9y - 9x = 9\)
\(\Rightarrow y - x = 1 \quad \text{বা} \quad -x + y = 1 \qquad \dots (2)\)
সমীকৰণ (1) আৰু (2) যোগ কৰি পাওঁ:
\((x + y) + (-x + y) = 9 + 1\)
\(\Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5\)
সমীকৰণ (1)-ত \(y = 5\) বহুৱাই পাওঁ:
\(x + 5 = 9 \Rightarrow x = 4\)
নিৰ্ণেয় সংখ্যাটো হ’ল: \(10(4) + 5 = 45\)।
11. দুটা অংকবিশিষ্ট সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি 15। যদি সংখ্যাটোৰ অংক দুটাৰ স্থান সালসলনি কৰা হয়, তেন্তে সংখ্যাটো 27 হ্ৰাস হয়। সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল, দহকৰ ঘৰৰ অংকটো \(x\) আৰু এককৰ ঘৰৰ অংকটো \(y\)।
গতিকে, সংখ্যাটো হ’ব \(10x + y\)।
প্ৰথম চৰ্তমতে:
\(x + y = 15 \qquad \dots (1)\)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে:
\((10x + y) - (10y + x) = 27\)
\(\Rightarrow 9x - 9y = 27\)
\(\Rightarrow x - y = 3 \qquad \dots (2)\)
সমীকৰণ (1) আৰু (2) যোগ কৰি পাওঁ:
\(2x = 18 \Rightarrow x = 9\)
সমীকৰণ (1)-ত \(x = 9\) বহুৱাই পাওঁ:
\(9 + y = 15 \Rightarrow y = 6\)
নিৰ্ণেয় সংখ্যাটো হ’ল: \(10(9) + 6 = 96\)।
12. দুটা সংখ্যাৰ অন্তৰ 4। সৰু সংখ্যাটোৰ দুগুণৰ লগত ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ তিনি গুণ যোগ দিলে 82 হয়। সংখ্যা দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল, ডাঙৰ সংখ্যাটো \(x\) আৰু সৰু সংখ্যাটো \(y\)।
প্ৰথম চৰ্তমতে:
\(x - y = 4 \Rightarrow x = y + 4 \qquad \dots (1)\)
দ্বিতীয় চৰ্তমতে:
\(3x + 2y = 82 \qquad \dots (2)\)
সমীকৰণ (2)-ত \(x\)-ৰ মান বহুৱাই পাওঁ:
\(3(y + 4) + 2y = 82\)
\(\Rightarrow 3y + 12 + 2y = 82\)
\(\Rightarrow 5y = 70 \Rightarrow y = 14\)
এতিয়া, \(x\)-ৰ মান হ’ব:
\(x = 14 + 4 = 18\)
নিৰ্ণেয় সংখ্যা দুটা হ’ল 18 আৰু 14।
📚 এই অধ্যায়ত আপুনি কি শিকিব
Substitution Method (স্থাপন পদ্ধতি)
Elimination Method (বিয়োজন পদ্ধতি)
বাস্তৱ জীৱনৰ সমস্যা সমাধান
পৰীক্ষামুখী ধাপে ধাপে সমাধান
📚 Focus
Class 10 Maths 3.3 Assamese Medium
SEBA Class 10 Maths Chapter 3.3
Algebraic Methods Class 10 Assamese
Pair of Linear Equations Assamese Medium
SCERT Assam Maths Solutions 2026
⭐ কিয় Digital Pipal Academy বাছি ল’ব?
✔️ SEBA/SCERT Assam নতুন পাঠ্যসূচী অনুসৰি আপডেটেড
✔️ সহজ অসমীয়া আৰু ইংৰাজী ভাষাত ব্যাখ্যা
✔️ ধাপে ধাপে পৰীক্ষামুখী সমাধান
✔️ বিনামূলীয়া নোটছ আৰু PDF
✔️ শ্ৰেণী ১০ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ বাবে বিশ্বাসযোগ্য প্লেটফৰ্ম
❓ প্ৰশ্নোত্তৰ (FAQs)
Q1. অধ্যায় ৩.৩ ত কি শিকোৱা হয়?
এই অধ্যায়ত দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ বীজগাণিতিক পদ্ধতিৰে সমাধান শিকোৱা হয়।
Q2. কোনবোৰ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়?
Substitution Method আৰু Elimination Method ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
Q3. এই অধ্যায়টো পৰীক্ষাৰ বাবে গুৰুত্বপূৰ্ণ নেকি?
হয়, এইটো বোৰ্ড পৰীক্ষাত বেছিভাগে আহে আৰু অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ।
Q4. কোনটো পদ্ধতি সহজ?
Substitution Method আৰম্ভণিৰ বাবে সহজ বুলি ধৰা হয়, কিন্তু প্ৰশ্ন অনুসৰি পদ্ধতি বেলেগ হব পাৰে।
🚀 Call To Action (CTA)
👉 সম্পূৰ্ণ সমাধান, নোটছ আৰু PDF পাবলৈ ভিজিট কৰক: www.pipalacademy.com
👉 আজি পৰা পঢ়া আৰম্ভ কৰক আৰু আপোনাৰ পৰীক্ষাৰ প্ৰস্তুতি উন্নত কৰক!
.png)
