Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions Exercise 5.3 Solutions | Assamese Medium | SEBA/SCERT Assam 2026–2027
আপুনি যদি Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions Exercise 5.3 Solutions Assamese Medium-ত বিচাৰি আছে, তেন্তে ইয়াত আপুনি পাব সহজ ভাষাত সম্পূৰ্ণ আৰু step-by-step সমাধান। এই সমাধানসমূহ নতুন SEBA/SCERT Assam 2026–2027 syllabus অনুসৰি প্ৰস্তুত কৰা হৈছে।
Exercise 5.3 ত শিক্ষাৰ্থীয়ে Arithmetic Progression (AP) ৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল নির্ণয় কৰা শিকে। এই Exercise HSLC পৰীক্ষাৰ বাবে অতি গুৰুত্বপূর্ণ।
Get complete Class 10 Maths Chapter 5 Exercise 5.3 solutions in Assamese Medium based on SEBA/SCERT Assam 2026–2027 syllabus. Learn Arithmetic Progressions sum formulas and step-by-step solutions in easy Assamese language
Class 10 Maths Chapter 5 – Arithmetic Progressions Exercise 5.3 Solutions | Assamese Medium (SEBA/SCERT Assam 2026–2027)
অনুশীলনী 5.3
1. তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা :
(i) \(2,\;7,\;12,\;\dots\) (10 টা পদলৈ)
Solution:
ইয়াত, \(a = 2\)
\(d = 7 - 2 = 5\)
\(n = 10\)
আমি জানো যে,
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}[2(2) + (10-1)5]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[4 + 9 \times 5]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[4 + 45]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5 \times 49\)
\(\Rightarrow S_{10} = 245\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 245।
ইয়াত, \(a = 2\)
\(d = 7 - 2 = 5\)
\(n = 10\)
আমি জানো যে,
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}[2(2) + (10-1)5]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[4 + 9 \times 5]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[4 + 45]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5 \times 49\)
\(\Rightarrow S_{10} = 245\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 245।
(ii) \(-37,\;-33,\;-29,\;\dots\) (12 টা পদলৈ)
Solution:
ইয়াত, \(a = -37\)
\(d = -33 - (-37) = 4\)
\(n = 12\)
\(\Rightarrow S_{12} = \frac{12}{2}[2(-37) + (12-1)4]\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6[-74 + 11 \times 4]\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6[-74 + 44]\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6[-30]\)
\(\Rightarrow S_{12} = -180\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল -180।
ইয়াত, \(a = -37\)
\(d = -33 - (-37) = 4\)
\(n = 12\)
\(\Rightarrow S_{12} = \frac{12}{2}[2(-37) + (12-1)4]\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6[-74 + 11 \times 4]\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6[-74 + 44]\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6[-30]\)
\(\Rightarrow S_{12} = -180\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল -180।
(iii) \(0.6,\;1.7,\;2.8,\;\dots\) (100 টা পদলৈ)
Solution:
ইয়াত, \(a = 0.6, d = 1.1, n = 100\)
\(\Rightarrow S_{100} = \frac{100}{2}[2(0.6) + (100-1)1.1]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 50[1.2 + 99 \times 1.1]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 50[1.2 + 108.9]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 50[110.1]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 5505\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 5505।
ইয়াত, \(a = 0.6, d = 1.1, n = 100\)
\(\Rightarrow S_{100} = \frac{100}{2}[2(0.6) + (100-1)1.1]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 50[1.2 + 99 \times 1.1]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 50[1.2 + 108.9]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 50[110.1]\)
\(\Rightarrow S_{100} = 5505\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 5505।
(iv) \(\frac{1}{15},\;\frac{1}{12},\;\frac{1}{10},\;\dots\) (11 টা পদলৈ)
Solution:
ইয়াত, \(a = \frac{1}{15}, n = 11\)
\(d = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5-4}{60} = \frac{1}{60}\)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[2(\frac{1}{15}) + (11-1)\frac{1}{60}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{2}{15} + 10 \times \frac{1}{60}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{2}{15} + \frac{1}{6}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{4+5}{30}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2} \times \frac{9}{30} \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{33}{20}\) বা \(1.65\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল \(\frac{33}{20}\)।
ইয়াত, \(a = \frac{1}{15}, n = 11\)
\(d = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5-4}{60} = \frac{1}{60}\)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[2(\frac{1}{15}) + (11-1)\frac{1}{60}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{2}{15} + 10 \times \frac{1}{60}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{2}{15} + \frac{1}{6}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{4+5}{30}] \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{11}{2} \times \frac{9}{30} \)
\(\Rightarrow S_{11} = \frac{33}{20}\) বা \(1.65\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল \(\frac{33}{20}\)।
2. তলৰ যোগফলবিলাক নিৰ্ণয় কৰা :
(i) \(7+10\frac{1}{2}+14+\dots+84\)
Solution:
ইয়াত, \(a = 7, d = 3.5 = \frac{7}{2}, a_n = 84\)
\(\Rightarrow a + (n-1)d = 84\)
\(\Rightarrow 7 + (n-1)\frac{7}{2} = 84\)
\(\Rightarrow (n-1)\frac{7}{2} = 77\)
\(\Rightarrow n-1 = 77 \times \frac{2}{7}\)
\(\Rightarrow n-1 = 22 \Rightarrow n = 23\)
\(\Rightarrow S_{23} = \frac{23}{2}(7 + 84)\)
\(\Rightarrow S_{23} = \frac{23}{2} \times 91\)
\(\Rightarrow S_{23} = \frac{2093}{2} = 1046.5\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 1046.5।
ইয়াত, \(a = 7, d = 3.5 = \frac{7}{2}, a_n = 84\)
\(\Rightarrow a + (n-1)d = 84\)
\(\Rightarrow 7 + (n-1)\frac{7}{2} = 84\)
\(\Rightarrow (n-1)\frac{7}{2} = 77\)
\(\Rightarrow n-1 = 77 \times \frac{2}{7}\)
\(\Rightarrow n-1 = 22 \Rightarrow n = 23\)
\(\Rightarrow S_{23} = \frac{23}{2}(7 + 84)\)
\(\Rightarrow S_{23} = \frac{23}{2} \times 91\)
\(\Rightarrow S_{23} = \frac{2093}{2} = 1046.5\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 1046.5।
(ii) \(34+32+30+\dots+10\)
Solution:
ইয়াত, \(a = 34, d = -2, a_n = 10\)
\(\Rightarrow 34 + (n-1)(-2) = 10\)
\(\Rightarrow (n-1)(-2) = -24\)
\(\Rightarrow n-1 = 12 \Rightarrow n = 13\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}(34 + 10)\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 44\)
\(\Rightarrow S_{13} = 13 \times 22\)
\(\Rightarrow S_{13} = 286\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 286।
ইয়াত, \(a = 34, d = -2, a_n = 10\)
\(\Rightarrow 34 + (n-1)(-2) = 10\)
\(\Rightarrow (n-1)(-2) = -24\)
\(\Rightarrow n-1 = 12 \Rightarrow n = 13\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}(34 + 10)\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 44\)
\(\Rightarrow S_{13} = 13 \times 22\)
\(\Rightarrow S_{13} = 286\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 286।
(iii) \(-5+(-8)+(-11)+\dots+(-230)\)
Solution:
ইয়াত, \(a = -5, d = -3, a_n = -230\)
\(\Rightarrow -5 + (n-1)(-3) = -230\)
\(\Rightarrow (n-1)(-3) = -225\)
\(\Rightarrow n-1 = 75 \Rightarrow n = 76\)
\(\Rightarrow S_{76} = \frac{76}{2}[-5 + (-230)]\)
\(\Rightarrow S_{76} = 38 \times (-235)\)
\(\Rightarrow S_{76} = -8930\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল -8930।
ইয়াত, \(a = -5, d = -3, a_n = -230\)
\(\Rightarrow -5 + (n-1)(-3) = -230\)
\(\Rightarrow (n-1)(-3) = -225\)
\(\Rightarrow n-1 = 75 \Rightarrow n = 76\)
\(\Rightarrow S_{76} = \frac{76}{2}[-5 + (-230)]\)
\(\Rightarrow S_{76} = 38 \times (-235)\)
\(\Rightarrow S_{76} = -8930\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল -8930।
3. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ—
(i) দিয়া আছে \(a=5,\; d=3,\; a_n=50\)। \(n\) আৰু \(S_n\) উলিওৱা।
Solution:
ইয়াত, \(a=5, d=3, a_n=50\)
আমি জানো যে, \(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 50 = 5 + (n-1)3\)
\(\Rightarrow 50 - 5 = 3(n-1)\)
\(\Rightarrow 45 = 3(n-1)\)
\(\Rightarrow n-1 = 15\)
\(\Rightarrow n = 16\)
এতিয়া, \(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50)\)
\(\Rightarrow S_{16} = 8 \times 55\)
\(\Rightarrow S_{16} = 440\)
\(\therefore n = 16\) আৰু \(S_n = 440\)।
ইয়াত, \(a=5, d=3, a_n=50\)
আমি জানো যে, \(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 50 = 5 + (n-1)3\)
\(\Rightarrow 50 - 5 = 3(n-1)\)
\(\Rightarrow 45 = 3(n-1)\)
\(\Rightarrow n-1 = 15\)
\(\Rightarrow n = 16\)
এতিয়া, \(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50)\)
\(\Rightarrow S_{16} = 8 \times 55\)
\(\Rightarrow S_{16} = 440\)
\(\therefore n = 16\) আৰু \(S_n = 440\)।
(ii) দিয়া আছে \(a=7,\; a_{13}=35\)। \(d\) আৰু \(S_{13}\) উলিওৱা।
Solution:
ইয়াত, \(a=7, a_{13}=35, n=13\)
\(\Rightarrow a + (13-1)d = 35\)
\(\Rightarrow 7 + 12d = 35\)
\(\Rightarrow 12d = 35 - 7\)
\(\Rightarrow 12d = 28\)
\(\Rightarrow d = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}\)
এতিয়া, \(S_{13} = \frac{13}{2}(a + a_{13})\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}(7 + 35)\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 42\)
\(\Rightarrow S_{13} = 13 \times 21 = 273\)
\(\therefore d = \frac{7}{3}\) আৰু \(S_{13} = 273\)।
ইয়াত, \(a=7, a_{13}=35, n=13\)
\(\Rightarrow a + (13-1)d = 35\)
\(\Rightarrow 7 + 12d = 35\)
\(\Rightarrow 12d = 35 - 7\)
\(\Rightarrow 12d = 28\)
\(\Rightarrow d = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}\)
এতিয়া, \(S_{13} = \frac{13}{2}(a + a_{13})\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}(7 + 35)\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 42\)
\(\Rightarrow S_{13} = 13 \times 21 = 273\)
\(\therefore d = \frac{7}{3}\) আৰু \(S_{13} = 273\)।
(iii) দিয়া আছে \(a_{12}=37,\; d=3\)। \(a\) আৰু \(S_{12}\) উলিওৱা।
Solution:
ইয়াত, \(a_{12}=37, d=3, n=12\)
\(\Rightarrow a + (12-1)3 = 37\)
\(\Rightarrow a + 11 \times 3 = 37\)
\(\Rightarrow a + 33 = 37\)
\(\Rightarrow a = 4\)
এতিয়া, \(S_{12} = \frac{12}{2}(a + a_{12})\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6(4 + 37)\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6 \times 41 = 246\)
\(\therefore a = 4\) আৰু \(S_{12} = 246\)।
ইয়াত, \(a_{12}=37, d=3, n=12\)
\(\Rightarrow a + (12-1)3 = 37\)
\(\Rightarrow a + 11 \times 3 = 37\)
\(\Rightarrow a + 33 = 37\)
\(\Rightarrow a = 4\)
এতিয়া, \(S_{12} = \frac{12}{2}(a + a_{12})\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6(4 + 37)\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6 \times 41 = 246\)
\(\therefore a = 4\) আৰু \(S_{12} = 246\)।
(iv) দিয়া আছে \(a_3=15,\; S_{10}=125\)। \(d\) আৰু \(a_{10}\) উলিওৱা।
Solution:
\(a_3 = 15 \Rightarrow a + 2d = 15\) ----(1)
\(S_{10} = 125 \Rightarrow \frac{10}{2}[2a + (10-1)d] = 125\)
\(\Rightarrow 5[2a + 9d] = 125\)
\(\Rightarrow 2a + 9d = 25\) ----(2)
সমীকৰণ (1)-ক 2 দি গুণ কৰি (2)-ৰ পৰা বিয়োগ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow (2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30\)
\(\Rightarrow 5d = -5\)
\(\Rightarrow d = -1\)
এতিয়া (1)-ৰ পৰা, \(a + 2(-1) = 15\)
\(\Rightarrow a = 17\)
এতিয়া, \(a_{10} = a + 9d\)
\(\Rightarrow a_{10} = 17 + 9(-1) = 8\)
\(\therefore d = -1\) আৰু \(a_{10} = 8\)।
\(a_3 = 15 \Rightarrow a + 2d = 15\) ----(1)
\(S_{10} = 125 \Rightarrow \frac{10}{2}[2a + (10-1)d] = 125\)
\(\Rightarrow 5[2a + 9d] = 125\)
\(\Rightarrow 2a + 9d = 25\) ----(2)
সমীকৰণ (1)-ক 2 দি গুণ কৰি (2)-ৰ পৰা বিয়োগ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow (2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30\)
\(\Rightarrow 5d = -5\)
\(\Rightarrow d = -1\)
এতিয়া (1)-ৰ পৰা, \(a + 2(-1) = 15\)
\(\Rightarrow a = 17\)
এতিয়া, \(a_{10} = a + 9d\)
\(\Rightarrow a_{10} = 17 + 9(-1) = 8\)
\(\therefore d = -1\) আৰু \(a_{10} = 8\)।
(v) দিয়া আছে \(d=5,\; S_9=75\)। \(a\) আৰু \(a_9\) উলিওৱা।
Solution:
\(S_9 = 75 \Rightarrow \frac{9}{2}[2a + (9-1)5] = 75\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2}[2a + 40] = 75\)
\(\Rightarrow 9(a + 20) = 75\)
\(\Rightarrow 9a + 180 = 75\)
\(\Rightarrow 9a = -105\)
\(\Rightarrow a = -\frac{35}{3}\)
এতিয়া, \(a_9 = a + 8d\)
\(\Rightarrow a_9 = -\frac{35}{3} + 8(5)\)
\(\Rightarrow a_9 = -\frac{35}{3} + 40\)
\(\Rightarrow a_9 = \frac{-35 + 120}{3}\)
\(\Rightarrow a_9 = \frac{85}{3}\)
\(\therefore a = -\frac{35}{3}\) আৰু \(a_9 = \frac{85}{3}\)।
\(S_9 = 75 \Rightarrow \frac{9}{2}[2a + (9-1)5] = 75\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2}[2a + 40] = 75\)
\(\Rightarrow 9(a + 20) = 75\)
\(\Rightarrow 9a + 180 = 75\)
\(\Rightarrow 9a = -105\)
\(\Rightarrow a = -\frac{35}{3}\)
এতিয়া, \(a_9 = a + 8d\)
\(\Rightarrow a_9 = -\frac{35}{3} + 8(5)\)
\(\Rightarrow a_9 = -\frac{35}{3} + 40\)
\(\Rightarrow a_9 = \frac{-35 + 120}{3}\)
\(\Rightarrow a_9 = \frac{85}{3}\)
\(\therefore a = -\frac{35}{3}\) আৰু \(a_9 = \frac{85}{3}\)।
(vi) দিয়া আছে \(a=2,\; d=8,\; S_n=90\)। \(n\) আৰু \(a_n\) উলিওৱা।
Solution:
\(S_n = 90 \Rightarrow \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)8] = 90\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[4 + 8n - 8] = 90\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[8n - 4] = 90\)
\(\Rightarrow n(4n - 2) = 90\)
\(\Rightarrow 4n^2 - 2n - 90 = 0\)
\(\Rightarrow 2n^2 - n - 45 = 0\)
\(\Rightarrow 2n^2 - 10n + 9n - 45 = 0\)
\(\Rightarrow 2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0\)
\(\Rightarrow (n-5)(2n+9) = 0\)
\(\Rightarrow n = 5\) (যিহেতু \(n > 0\))
এতিয়া, \(a_5 = a + 4d\)
\(\Rightarrow a_5 = 2 + 4(8)\)
\(\Rightarrow a_5 = 34\)
\(\therefore n = 5\) আৰু \(a_n = 34\)।
\(S_n = 90 \Rightarrow \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)8] = 90\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[4 + 8n - 8] = 90\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[8n - 4] = 90\)
\(\Rightarrow n(4n - 2) = 90\)
\(\Rightarrow 4n^2 - 2n - 90 = 0\)
\(\Rightarrow 2n^2 - n - 45 = 0\)
\(\Rightarrow 2n^2 - 10n + 9n - 45 = 0\)
\(\Rightarrow 2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0\)
\(\Rightarrow (n-5)(2n+9) = 0\)
\(\Rightarrow n = 5\) (যিহেতু \(n > 0\))
এতিয়া, \(a_5 = a + 4d\)
\(\Rightarrow a_5 = 2 + 4(8)\)
\(\Rightarrow a_5 = 34\)
\(\therefore n = 5\) আৰু \(a_n = 34\)।
(vii) দিয়া আছে \(a=8,\; a_n=62,\; S_n=210\)। \(n\) আৰু \(d\) উলিওৱা।
Solution:
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow 210 = \frac{n}{2}(8 + 62)\)
\(\Rightarrow 210 = \frac{n}{2} \times 70\)
\(\Rightarrow 210 = 35n\)
\(\Rightarrow n = 6\)
এতিয়া, \(a_n = 62\)
\(\Rightarrow 8 + (6-1)d = 62\)
\(\Rightarrow 5d = 54\)
\(\Rightarrow d = \frac{54}{5} = 10.8\)
\(\therefore n = 6\) আৰু \(d = 10.8\)।
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow 210 = \frac{n}{2}(8 + 62)\)
\(\Rightarrow 210 = \frac{n}{2} \times 70\)
\(\Rightarrow 210 = 35n\)
\(\Rightarrow n = 6\)
এতিয়া, \(a_n = 62\)
\(\Rightarrow 8 + (6-1)d = 62\)
\(\Rightarrow 5d = 54\)
\(\Rightarrow d = \frac{54}{5} = 10.8\)
\(\therefore n = 6\) আৰু \(d = 10.8\)।
(viii) দিয়া আছে \(a_n=4,\; d=2,\; S_n=-14\)। \(n\) আৰু \(a\) উলিওৱা।
Solution:
\(a_n = 4 \Rightarrow a + (n-1)2 = 4\)
\(\Rightarrow a = 4 - 2n + 2\)
\(\Rightarrow a = 6 - 2n\) ----(1)
এতিয়া, \(S_n = -14 \Rightarrow \frac{n}{2}(a + a_n) = -14\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(6 - 2n + 4) = -14\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(10 - 2n) = -14\)
\(\Rightarrow n(5 - n) = -14\)
\(\Rightarrow 5n - n^2 = -14\)
\(\Rightarrow n^2 - 5n - 14 = 0\)
\(\Rightarrow (n-7)(n+2) = 0\)
\(\Rightarrow n = 7\) (যিহেতু \(n > 0\))
\(\Rightarrow a = 6 - 2(7) = -8\)
\(\therefore n = 7\) আৰু \(a = -8\)।
\(a_n = 4 \Rightarrow a + (n-1)2 = 4\)
\(\Rightarrow a = 4 - 2n + 2\)
\(\Rightarrow a = 6 - 2n\) ----(1)
এতিয়া, \(S_n = -14 \Rightarrow \frac{n}{2}(a + a_n) = -14\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(6 - 2n + 4) = -14\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(10 - 2n) = -14\)
\(\Rightarrow n(5 - n) = -14\)
\(\Rightarrow 5n - n^2 = -14\)
\(\Rightarrow n^2 - 5n - 14 = 0\)
\(\Rightarrow (n-7)(n+2) = 0\)
\(\Rightarrow n = 7\) (যিহেতু \(n > 0\))
\(\Rightarrow a = 6 - 2(7) = -8\)
\(\therefore n = 7\) আৰু \(a = -8\)।
(ix) দিয়া আছে \(a=3,\; n=8,\; S=192\)। \(d\) উলিওৱা।
Solution:
\(S = 192, n = 8, a = 3\)
\(\Rightarrow \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d] = 192\)
\(\Rightarrow 4[6 + 7d] = 192\)
\(\Rightarrow 6 + 7d = 48\)
\(\Rightarrow 7d = 42\)
\(\Rightarrow d = 6\)
\(\therefore d = 6\)।
\(S = 192, n = 8, a = 3\)
\(\Rightarrow \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d] = 192\)
\(\Rightarrow 4[6 + 7d] = 192\)
\(\Rightarrow 6 + 7d = 48\)
\(\Rightarrow 7d = 42\)
\(\Rightarrow d = 6\)
\(\therefore d = 6\)।
(x) দিয়া আছে \(l=28,\; S=144\) আৰু মুঠ পদৰ সংখ্যা \(9\)। \(a\) উলিওৱা।
Solution:
ইয়াত, \(l = a_n = 28, S = 144, n = 9\)
\(\Rightarrow S = \frac{n}{2}(a + l)\)
\(\Rightarrow 144 = \frac{9}{2}(a + 28)\)
\(\Rightarrow 144 \times \frac{2}{9} = a + 28\)
\(\Rightarrow 16 \times 2 = a + 28\)
\(\Rightarrow 32 = a + 28\)
\(\Rightarrow a = 4\)
\(\therefore a = 4\)।
ইয়াত, \(l = a_n = 28, S = 144, n = 9\)
\(\Rightarrow S = \frac{n}{2}(a + l)\)
\(\Rightarrow 144 = \frac{9}{2}(a + 28)\)
\(\Rightarrow 144 \times \frac{2}{9} = a + 28\)
\(\Rightarrow 16 \times 2 = a + 28\)
\(\Rightarrow 32 = a + 28\)
\(\Rightarrow a = 4\)
\(\therefore a = 4\)।
4. \(9,\;17,\;25,\;\dots\) সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কিমানটা পদৰ যোগফল \(636\) হ'ব?
Solution:
ইয়াত, \(a = 9, d = 17 - 9 = 8, S_n = 636\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[2(9) + (n-1)8] = 636\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[18 + 8n - 8] = 636\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[10 + 8n] = 636\)
\(\Rightarrow n(5 + 4n) = 636\)
\(\Rightarrow 4n^2 + 5n - 636 = 0\)
\(\Rightarrow 4n^2 + 53n - 48n - 636 = 0\)
\(\Rightarrow n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0\)
\(\Rightarrow (n - 12)(4n + 53) = 0\)
\(\Rightarrow n = 12\) (যিহেতু \(n > 0\))
\(\therefore\) 12 টা পদৰ যোগফল 636 হ'ব।
ইয়াত, \(a = 9, d = 17 - 9 = 8, S_n = 636\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[2(9) + (n-1)8] = 636\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[18 + 8n - 8] = 636\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}[10 + 8n] = 636\)
\(\Rightarrow n(5 + 4n) = 636\)
\(\Rightarrow 4n^2 + 5n - 636 = 0\)
\(\Rightarrow 4n^2 + 53n - 48n - 636 = 0\)
\(\Rightarrow n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0\)
\(\Rightarrow (n - 12)(4n + 53) = 0\)
\(\Rightarrow n = 12\) (যিহেতু \(n > 0\))
\(\therefore\) 12 টা পদৰ যোগফল 636 হ'ব।
5. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ \(5\), অন্তিম পদ \(45\) আৰু যোগফল \(400\)। পদৰ সংখ্যা আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
ইয়াত, \(a = 5, l = 45, S_n = 400\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(a + l) = 400\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(5 + 45) = 400\)
\(\Rightarrow 25n = 400 \Rightarrow n = 16\)
এতিয়া, \(l = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 45 = 5 + (16-1)d\)
\(\Rightarrow 40 = 15d \Rightarrow d = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\)
\(\therefore\) পদৰ সংখ্যা 16 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ \(\frac{8}{3}\)।
ইয়াত, \(a = 5, l = 45, S_n = 400\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(a + l) = 400\)
\(\Rightarrow \frac{n}{2}(5 + 45) = 400\)
\(\Rightarrow 25n = 400 \Rightarrow n = 16\)
এতিয়া, \(l = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 45 = 5 + (16-1)d\)
\(\Rightarrow 40 = 15d \Rightarrow d = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\)
\(\therefore\) পদৰ সংখ্যা 16 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ \(\frac{8}{3}\)।
6. এটা APৰ প্ৰথম আৰু অন্তিম পদ ক্রমে 17 আৰু 350। সাধাৰণ অন্তৰ 9, তেন্তে APটোত কিমান পদ আৰু সিহঁতৰ যোগফল কিমান?
Solution:
ইয়াত দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ, \(a = 17\)
অন্তিম পদ, \(l = a_n = 350\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 9\)
আমি জানো যে,
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 350 = 17 + (n-1)9\)
\(\Rightarrow 350 - 17 = 9(n-1)\)
\(\Rightarrow 333 = 9(n-1)\)
\(\Rightarrow n-1 = \frac{333}{9}\)
\(\Rightarrow n-1 = 37\)
\(\Rightarrow n = 37 + 1\)
\(\Rightarrow n = 38\)
এতিয়া যোগফল,
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{38} = \frac{38}{2}(17 + 350)\)
\(\Rightarrow S_{38} = 19(367)\)
\(\Rightarrow S_{38} = 6973\)
\(\therefore\) পদৰ সংখ্যা 38 আৰু যোগফল 6973।
ইয়াত দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ, \(a = 17\)
অন্তিম পদ, \(l = a_n = 350\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 9\)
আমি জানো যে,
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 350 = 17 + (n-1)9\)
\(\Rightarrow 350 - 17 = 9(n-1)\)
\(\Rightarrow 333 = 9(n-1)\)
\(\Rightarrow n-1 = \frac{333}{9}\)
\(\Rightarrow n-1 = 37\)
\(\Rightarrow n = 37 + 1\)
\(\Rightarrow n = 38\)
এতিয়া যোগফল,
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{38} = \frac{38}{2}(17 + 350)\)
\(\Rightarrow S_{38} = 19(367)\)
\(\Rightarrow S_{38} = 6973\)
\(\therefore\) পদৰ সংখ্যা 38 আৰু যোগফল 6973।
7. এটা AP ৰ \(d=7\) আৰু \(22\)তম পদটো \(149\) হ'লে ইয়াৰ প্ৰথম \(22\) টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
ইয়াত দিয়া আছে,
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 7\)
\(22\)তম পদ, \(a_{22} = 149\)
পদৰ সংখ্যা, \(n = 22\)
আমি জানো যে,
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 149 = a + (22-1)7\)
\(\Rightarrow 149 = a + 21 \times 7\)
\(\Rightarrow 149 = a + 147\)
\(\Rightarrow a = 149 - 147\)
\(\Rightarrow a = 2\)
এতিয়া প্ৰথম \(22\) টা পদৰ যোগফল,
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{22} = \frac{22}{2}(2 + 149)\)
\(\Rightarrow S_{22} = 11(151)\)
\(\Rightarrow S_{22} = 1661\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 1661।
ইয়াত দিয়া আছে,
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 7\)
\(22\)তম পদ, \(a_{22} = 149\)
পদৰ সংখ্যা, \(n = 22\)
আমি জানো যে,
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 149 = a + (22-1)7\)
\(\Rightarrow 149 = a + 21 \times 7\)
\(\Rightarrow 149 = a + 147\)
\(\Rightarrow a = 149 - 147\)
\(\Rightarrow a = 2\)
এতিয়া প্ৰথম \(22\) টা পদৰ যোগফল,
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{22} = \frac{22}{2}(2 + 149)\)
\(\Rightarrow S_{22} = 11(151)\)
\(\Rightarrow S_{22} = 1661\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 1661।
8. এটা AP ৰ দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় পদ ক্রমে \(14\) আৰু \(18\) হ'লে প্ৰথম \(51\)টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
Solution:
ইয়াত দিয়া আছে,
দ্বিতীয় পদ, \(a_2 = 14\)
তৃতীয় পদ, \(a_3 = 18\)
\(\therefore\) সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = a_3 - a_2\)
\(\Rightarrow d = 18 - 14\)
\(\Rightarrow d = 4\)
আমি জানো যে, \(a_2 = a + d\)
\(\Rightarrow 14 = a + 4\)
\(\Rightarrow a = 14 - 4\)
\(\Rightarrow a = 10\)
এতিয়া, প্ৰথম \(51\)টা পদৰ যোগফল (\(n = 51\)),
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2}[2(10) + (51-1)4]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 50 \times 4]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 200]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2} \times 220\)
\(\Rightarrow S_{51} = 51 \times 110\)
\(\Rightarrow S_{51} = 5610\)
\(\therefore\) প্ৰথম 51টা পদৰ যোগফল 5610।
ইয়াত দিয়া আছে,
দ্বিতীয় পদ, \(a_2 = 14\)
তৃতীয় পদ, \(a_3 = 18\)
\(\therefore\) সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = a_3 - a_2\)
\(\Rightarrow d = 18 - 14\)
\(\Rightarrow d = 4\)
আমি জানো যে, \(a_2 = a + d\)
\(\Rightarrow 14 = a + 4\)
\(\Rightarrow a = 14 - 4\)
\(\Rightarrow a = 10\)
এতিয়া, প্ৰথম \(51\)টা পদৰ যোগফল (\(n = 51\)),
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2}[2(10) + (51-1)4]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 50 \times 4]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 200]\)
\(\Rightarrow S_{51} = \frac{51}{2} \times 220\)
\(\Rightarrow S_{51} = 51 \times 110\)
\(\Rightarrow S_{51} = 5610\)
\(\therefore\) প্ৰথম 51টা পদৰ যোগফল 5610।
9. এটা AP ৰ প্ৰথম \(7\)টা পদৰ যোগফল \(49\) আৰু প্ৰথম \(17\)টা পদৰ যোগফল \(289\)। AP টোৰ প্ৰথম \(n\)টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
Solution:
ইয়াত দিয়া আছে, \(S_7 = 49\) আৰু \(S_{17} = 289\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_7 = \frac{7}{2}[2a + (7-1)d] = 49\)
\(\Rightarrow \frac{7}{2}[2a + 6d] = 49\)
\(\Rightarrow 7[a + 3d] = 49\)
\(\Rightarrow a + 3d = 7\) ----(1)
ঠিক একেদৰে,
\(\Rightarrow S_{17} = \frac{17}{2}[2a + (17-1)d] = 289\)
\(\Rightarrow \frac{17}{2}[2a + 16d] = 289\)
\(\Rightarrow 17[a + 8d] = 289\)
\(\Rightarrow a + 8d = \frac{289}{17}\)
\(\Rightarrow a + 8d = 17\) ----(2)
সমীকৰণ (2)-ৰ পৰা (1) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow (a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7\)
\(\Rightarrow 5d = 10\)
\(\Rightarrow d = 2\)
এতিয়া \(d = 2\) সমীকৰণ (1)-ত বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow a + 3(2) = 7\)
\(\Rightarrow a + 6 = 7\)
\(\Rightarrow a = 1\)
এতিয়া, প্ৰথম \(n\)টা পদৰ যোগফল,
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2]\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}[2n]\)
\(\Rightarrow S_n = n^2\)
\(\dots\) প্ৰথম \(n\)টা পদৰ যোগফল \(n^2\)।
ইয়াত দিয়া আছে, \(S_7 = 49\) আৰু \(S_{17} = 289\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_7 = \frac{7}{2}[2a + (7-1)d] = 49\)
\(\Rightarrow \frac{7}{2}[2a + 6d] = 49\)
\(\Rightarrow 7[a + 3d] = 49\)
\(\Rightarrow a + 3d = 7\) ----(1)
ঠিক একেদৰে,
\(\Rightarrow S_{17} = \frac{17}{2}[2a + (17-1)d] = 289\)
\(\Rightarrow \frac{17}{2}[2a + 16d] = 289\)
\(\Rightarrow 17[a + 8d] = 289\)
\(\Rightarrow a + 8d = \frac{289}{17}\)
\(\Rightarrow a + 8d = 17\) ----(2)
সমীকৰণ (2)-ৰ পৰা (1) বিয়োগ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow (a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7\)
\(\Rightarrow 5d = 10\)
\(\Rightarrow d = 2\)
এতিয়া \(d = 2\) সমীকৰণ (1)-ত বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow a + 3(2) = 7\)
\(\Rightarrow a + 6 = 7\)
\(\Rightarrow a = 1\)
এতিয়া, প্ৰথম \(n\)টা পদৰ যোগফল,
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2]\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}[2n]\)
\(\Rightarrow S_n = n^2\)
\(\dots\) প্ৰথম \(n\)টা পদৰ যোগফল \(n^2\)।
10. দেখুওৱা যে \(a_1,\; a_2,\; \ldots\, \; a_n, \; \ldots\) পদসমূহে এটা AP গঠন কৰে যাৰ \(a_n\) ক তলত দিয়াৰ দৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰা হৈছে—
(i) \(a_n = 3 + 4n\)
(ii) \(a_n = 9 - 5n\)
লগতে, প্রতিটোৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰথম \(15\)টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
(ii) \(a_n = 9 - 5n\)
(i) \(a_n = 3 + 4n\)
Solution:
ইয়াত, \(a_n = 3 + 4n\)
\(n = 1, 2, 3, \dots\) বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow a_1 = 3 + 4(1) = 7\)
\(\Rightarrow a_2 = 3 + 4(2) = 11\)
\(\Rightarrow a_3 = 3 + 4(3) = 15\)
ইয়াত পদবোৰ হ'ল: \(7, 11, 15, \dots\)
এতিয়া, পাৰ্থক্যবোৰ পৰীক্ষা কৰোঁ:
\(\Rightarrow a_2 - a_1 = 11 - 7 = 4\)
\(\Rightarrow a_3 - a_2 = 15 - 11 = 4\)
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 4\) (সদায়ে স্থিৰ), গতিকে ই এটা AP গঠন কৰে।
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 7\), সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 4\) আৰু পদৰ সংখ্যা \(n = 15\)।
\(\therefore S_{15} = \frac{15}{2}[2(7) + (15-1)4]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[14 + 14 \times 4]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[14 + 56]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} \times 70\)
\(\Rightarrow S_{15} = 15 \times 35\)
\(\Rightarrow S_{15} = 525\)
\(\therefore\) প্ৰথম 15টা পদৰ যোগফল 525।
ইয়াত, \(a_n = 3 + 4n\)
\(n = 1, 2, 3, \dots\) বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow a_1 = 3 + 4(1) = 7\)
\(\Rightarrow a_2 = 3 + 4(2) = 11\)
\(\Rightarrow a_3 = 3 + 4(3) = 15\)
ইয়াত পদবোৰ হ'ল: \(7, 11, 15, \dots\)
এতিয়া, পাৰ্থক্যবোৰ পৰীক্ষা কৰোঁ:
\(\Rightarrow a_2 - a_1 = 11 - 7 = 4\)
\(\Rightarrow a_3 - a_2 = 15 - 11 = 4\)
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 4\) (সদায়ে স্থিৰ), গতিকে ই এটা AP গঠন কৰে।
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 7\), সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 4\) আৰু পদৰ সংখ্যা \(n = 15\)।
\(\therefore S_{15} = \frac{15}{2}[2(7) + (15-1)4]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[14 + 14 \times 4]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[14 + 56]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} \times 70\)
\(\Rightarrow S_{15} = 15 \times 35\)
\(\Rightarrow S_{15} = 525\)
\(\therefore\) প্ৰথম 15টা পদৰ যোগফল 525।
(ii) \(a_n = 9 - 5n\)
Solution:
ইয়াত, \(a_n = 9 - 5n\)
\(n = 1, 2, 3, \dots\) বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow a_1 = 9 - 5(1) = 4\)
\(\Rightarrow a_2 = 9 - 5(2) = -1\)
\(\Rightarrow a_3 = 9 - 5(3) = -6\)
ইয়াত পদবোৰ হ'ল: \(4, -1, -6, \dots\)
এতিয়া, পাৰ্থক্যবোৰ পৰীক্ষা কৰোঁ:
\(\Rightarrow a_2 - a_1 = -1 - 4 = -5\)
\(\Rightarrow a_3 - a_2 = -6 - (-1) = -5\)
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ \(d = -5\) (সদায়ে স্থিৰ), গতিকে ই এটা AP গঠন কৰে।
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 4\), সাধাৰণ অন্তৰ \(d = -5\) আৰু পদৰ সংখ্যা \(n = 15\)।
\(\therefore S_{15} = \frac{15}{2}[2(4) + (15-1)(-5)]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[8 + 14 \times (-5)]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[8 - 70]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} \times (-62)\)
\(\Rightarrow S_{15} = 15 \times (-31)\)
\(\Rightarrow S_{15} = -465\)
\(\dots\) প্ৰথম 15টা পদৰ যোগফল -465।
ইয়াত, \(a_n = 9 - 5n\)
\(n = 1, 2, 3, \dots\) বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow a_1 = 9 - 5(1) = 4\)
\(\Rightarrow a_2 = 9 - 5(2) = -1\)
\(\Rightarrow a_3 = 9 - 5(3) = -6\)
ইয়াত পদবোৰ হ'ল: \(4, -1, -6, \dots\)
এতিয়া, পাৰ্থক্যবোৰ পৰীক্ষা কৰোঁ:
\(\Rightarrow a_2 - a_1 = -1 - 4 = -5\)
\(\Rightarrow a_3 - a_2 = -6 - (-1) = -5\)
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ \(d = -5\) (সদায়ে স্থিৰ), গতিকে ই এটা AP গঠন কৰে।
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 4\), সাধাৰণ অন্তৰ \(d = -5\) আৰু পদৰ সংখ্যা \(n = 15\)।
\(\therefore S_{15} = \frac{15}{2}[2(4) + (15-1)(-5)]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[8 + 14 \times (-5)]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[8 - 70]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} \times (-62)\)
\(\Rightarrow S_{15} = 15 \times (-31)\)
\(\Rightarrow S_{15} = -465\)
\(\dots\) প্ৰথম 15টা পদৰ যোগফল -465।
11. যদি এটা AP ৰ প্ৰথম \(n\)টা পদৰ যোগফল \(S_n = 4n - n^2\), তেন্তে ইয়াৰ প্ৰথম পদ \((S_1)\) কি? প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল কিমান? দ্বিতীয় পদটো কি? একেদৰে, তৃতীয়, দশম আৰু \(n\)-তম পদকেইটা নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
দিয়া আছে, \(S_n = 4n - n^2\)
\(n = 1\) বহুৱাই প্ৰথম পদ পাওঁ:
\(\Rightarrow S_1 = 4(1) - (1)^2\)
\(\Rightarrow S_1 = 4 - 1 = 3\)
\(\therefore\) প্ৰথম পদ \(a_1 = S_1 = 3\)
\(n = 2\) বহুৱাই প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল পাওঁ:
\(\Rightarrow S_2 = 4(2) - (2)^2\)
\(\Rightarrow S_2 = 8 - 4 = 4\)
\(\therefore\) প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল ৪।
\(\therefore\) দ্বিতীয় পদ, \(a_2 = S_2 - S_1\)
\(\Rightarrow a_2 = 4 - 3 = 1\)
\(\therefore\) সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = a_2 - a_1\)
\(\Rightarrow d = 1 - 3 = -2\)
এতিয়া অন্যান্য পদসমূহ নিৰ্ণয় কৰোঁ:
তৃতীয় পদ, \(a_3 = a + 2d\)
\(\Rightarrow a_3 = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1\)
দশম পদ, \(a_{10} = a + 9d\)
\(\Rightarrow a_{10} = 3 + 9(-2) = 3 - 18 = -15\)
\(n\)-তম পদ, \(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow a_n = 3 + (n-1)(-2)\)
\(\Rightarrow a_n = 3 - 2n + 2\)
\(\Rightarrow a_n = 5 - 2n\)
\(\therefore S_1 = 3,\; S_2 = 4,\; a_2 = 1,\; a_3 = -1,\; a_{10} = -15,\; a_n = 5 - 2n\)।
দিয়া আছে, \(S_n = 4n - n^2\)
\(n = 1\) বহুৱাই প্ৰথম পদ পাওঁ:
\(\Rightarrow S_1 = 4(1) - (1)^2\)
\(\Rightarrow S_1 = 4 - 1 = 3\)
\(\therefore\) প্ৰথম পদ \(a_1 = S_1 = 3\)
\(n = 2\) বহুৱাই প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল পাওঁ:
\(\Rightarrow S_2 = 4(2) - (2)^2\)
\(\Rightarrow S_2 = 8 - 4 = 4\)
\(\therefore\) প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল ৪।
\(\therefore\) দ্বিতীয় পদ, \(a_2 = S_2 - S_1\)
\(\Rightarrow a_2 = 4 - 3 = 1\)
\(\therefore\) সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = a_2 - a_1\)
\(\Rightarrow d = 1 - 3 = -2\)
এতিয়া অন্যান্য পদসমূহ নিৰ্ণয় কৰোঁ:
তৃতীয় পদ, \(a_3 = a + 2d\)
\(\Rightarrow a_3 = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1\)
দশম পদ, \(a_{10} = a + 9d\)
\(\Rightarrow a_{10} = 3 + 9(-2) = 3 - 18 = -15\)
\(n\)-তম পদ, \(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow a_n = 3 + (n-1)(-2)\)
\(\Rightarrow a_n = 3 - 2n + 2\)
\(\Rightarrow a_n = 5 - 2n\)
\(\therefore S_1 = 3,\; S_2 = 4,\; a_2 = 1,\; a_3 = -1,\; a_{10} = -15,\; a_n = 5 - 2n\)।
12. \(6\)ৰে বিভাজ্য প্ৰথম \(40\)টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
\(6\) ৰে বিভাজ্য প্ৰথম \(40\)টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ AP টো হ'ল:
\(6, 12, 18, 24, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 6\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 6\)
পদৰ সংখ্যা \(n = 40\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{40} = \frac{40}{2}[2(6) + (40-1)6]\)
\(\Rightarrow S_{40} = 20[12 + 39 \times 6]\)
\(\Rightarrow S_{40} = 20[12 + 234]\)
\(\Rightarrow S_{40} = 20 \times 246\)
\(\Rightarrow S_{40} = 4920\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 4920।
\(6\) ৰে বিভাজ্য প্ৰথম \(40\)টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ AP টো হ'ল:
\(6, 12, 18, 24, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 6\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 6\)
পদৰ সংখ্যা \(n = 40\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{40} = \frac{40}{2}[2(6) + (40-1)6]\)
\(\Rightarrow S_{40} = 20[12 + 39 \times 6]\)
\(\Rightarrow S_{40} = 20[12 + 234]\)
\(\Rightarrow S_{40} = 20 \times 246\)
\(\Rightarrow S_{40} = 4920\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 4920।
13. প্ৰথম \(15\)টা \(8\)ৰ গুণিতকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
\(8\) ৰ গুণিতকসমূহৰ AP টো হ'ল:
\(8, 16, 24, 32, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 8\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 8\)
পদৰ সংখ্যা \(n = 15\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + (15-1)8]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 14 \times 8]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 112]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} \times 128\)
\(\Rightarrow S_{15} = 15 \times 64\)
\(\Rightarrow S_{15} = 960\)
\(\therefore\) প্ৰথম 15টা গুণিতকৰ যোগফল 960।
\(8\) ৰ গুণিতকসমূহৰ AP টো হ'ল:
\(8, 16, 24, 32, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 8\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 8\)
পদৰ সংখ্যা \(n = 15\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + (15-1)8]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 14 \times 8]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 112]\)
\(\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} \times 128\)
\(\Rightarrow S_{15} = 15 \times 64\)
\(\Rightarrow S_{15} = 960\)
\(\therefore\) প্ৰথম 15টা গুণিতকৰ যোগফল 960।
14. \(0\) আৰু \(50\)ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাবিলাকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
\(0\) আৰু \(50\) ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাসমূহৰ AP টো হ'ল:
\(1, 3, 5, 7, \dots, 49\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 1\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 3 - 1 = 2\)
অন্তিম পদ \(a_n = 49\)
প্ৰথমে পদৰ সংখ্যা (\(n\)) উলিওৱা হ'ল:
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 49 = 1 + (n-1)2\)
\(\Rightarrow 49 - 1 = 2(n-1)\)
\(\Rightarrow 48 = 2(n-1)\)
\(\Rightarrow n-1 = 24\)
\(\Rightarrow n = 25\)
এতিয়া যোগফল নিৰ্ণয় কৰোঁ:
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{25} = \frac{25}{2}(1 + 49)\)
\(\Rightarrow S_{25} = \frac{25}{2} \times 50\)
\(\Rightarrow S_{25} = 25 \times 25\)
\(\Rightarrow S_{25} = 625\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 625।
\(0\) আৰু \(50\) ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাসমূহৰ AP টো হ'ল:
\(1, 3, 5, 7, \dots, 49\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 1\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 3 - 1 = 2\)
অন্তিম পদ \(a_n = 49\)
প্ৰথমে পদৰ সংখ্যা (\(n\)) উলিওৱা হ'ল:
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow 49 = 1 + (n-1)2\)
\(\Rightarrow 49 - 1 = 2(n-1)\)
\(\Rightarrow 48 = 2(n-1)\)
\(\Rightarrow n-1 = 24\)
\(\Rightarrow n = 25\)
এতিয়া যোগফল নিৰ্ণয় কৰোঁ:
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_{25} = \frac{25}{2}(1 + 49)\)
\(\Rightarrow S_{25} = \frac{25}{2} \times 50\)
\(\Rightarrow S_{25} = 25 \times 25\)
\(\Rightarrow S_{25} = 625\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় যোগফল 625।
15. এটা নিৰ্মাণ কাৰ্যৰ ঠিকাত নিৰ্মাণৰ কাম এটা নির্ধাৰিত তাৰিখতকৈ পলম হ'লে দিব লগা জৰিমনা এনেধৰণৰ : প্ৰথম দিনা \(200\) টকা, দ্বিতীয় দিনা \(250\) টকা, তৃতীয় দিনা \(300\) টকা ইত্যাদি। অর্থাৎ প্ৰতিটো পৰৱৰ্তী দিনৰ জৰিমনা তাৰ পূৰ্বৱর্তী দিনতকৈ \(50\) টকা বেছি। ঠিকাদাৰ এজনে কামটো \(30\) দিন পলমকৈ সম্পূর্ণ কৰিলে। তেওঁ মুঠ কিমান টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব?
Solution:
প্ৰশ্নমতে জৰিমনাৰ পৰিমাণে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(200, 250, 300, 350, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 200\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 50\)
মুঠ দিন (পদৰ সংখ্যা) \(n = 30\)
ঠিকাদাৰে ভৰিবলগা মুঠ জৰিমনা হ'ল ৩০টা পদৰ যোগফল (\(S_{30}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{30} = \frac{30}{2}[2(200) + (30-1)50]\)
\(\Rightarrow S_{30} = 15[400 + 29 \times 50]\)
\(\Rightarrow S_{30} = 15[400 + 1450]\)
\(\Rightarrow S_{30} = 15 \times 1850\)
\(\Rightarrow S_{30} = 27750\)
\(\therefore\) ঠিকাদাৰজনে মুঠ 27,750 টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব।
প্ৰশ্নমতে জৰিমনাৰ পৰিমাণে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(200, 250, 300, 350, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 200\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 50\)
মুঠ দিন (পদৰ সংখ্যা) \(n = 30\)
ঠিকাদাৰে ভৰিবলগা মুঠ জৰিমনা হ'ল ৩০টা পদৰ যোগফল (\(S_{30}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{30} = \frac{30}{2}[2(200) + (30-1)50]\)
\(\Rightarrow S_{30} = 15[400 + 29 \times 50]\)
\(\Rightarrow S_{30} = 15[400 + 1450]\)
\(\Rightarrow S_{30} = 15 \times 1850\)
\(\Rightarrow S_{30} = 27750\)
\(\therefore\) ঠিকাদাৰজনে মুঠ 27,750 টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব।
16. এখন বিদ্যালয়ৰ শিক্ষার্থীসকলক বিদ্যায়তনিক ক্ষেত্ৰত দেখুওৱা পাৰদৰ্শিতাৰ বাবে মুঠ \(700\) টকাৰ সাতটা নগদ ধনৰ পুৰস্কাৰ দিব লগা হ'ল। যদি প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ ধন তাৰ আগৰটোতকৈ \(20\) টকা কম হয়, তেনেহ'লে প্রতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
ইয়াত, মুঠ পুৰস্কাৰৰ সংখ্যা \(n = 7\)
মুঠ ধনৰ যোগফল \(S_7 = 700\)
যিহেতু প্ৰতিটো পুৰস্কাৰ পিছৰটোতকৈ ২০ টকা কম, গতিকে সাধাৰণ অন্তৰ \(d = -20\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow 700 = \frac{7}{2}[2a + (7-1)(-20)]\)
\(\Rightarrow 700 \times \frac{2}{7} = 2a + 6 \times (-20)\)
\(\Rightarrow 200 = 2a - 120\)
\(\Rightarrow 2a = 200 + 120\)
\(\Rightarrow 2a = 320\)
\(\Rightarrow a = 160\)
\(\therefore\) প্ৰথম পুৰস্কাৰৰ মূল্য হ'ল ১৬০ টকা।
গতিকে প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য হ'ল টকাত ক্ৰমে:
\(160\text{},\; 140\text{},\; 120\text{},\; 100\text{},\; 80\text{},\; 60\text{},\; 40\text{}\)।
ইয়াত, মুঠ পুৰস্কাৰৰ সংখ্যা \(n = 7\)
মুঠ ধনৰ যোগফল \(S_7 = 700\)
যিহেতু প্ৰতিটো পুৰস্কাৰ পিছৰটোতকৈ ২০ টকা কম, গতিকে সাধাৰণ অন্তৰ \(d = -20\)
আমি জানো যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow 700 = \frac{7}{2}[2a + (7-1)(-20)]\)
\(\Rightarrow 700 \times \frac{2}{7} = 2a + 6 \times (-20)\)
\(\Rightarrow 200 = 2a - 120\)
\(\Rightarrow 2a = 200 + 120\)
\(\Rightarrow 2a = 320\)
\(\Rightarrow a = 160\)
\(\therefore\) প্ৰথম পুৰস্কাৰৰ মূল্য হ'ল ১৬০ টকা।
গতিকে প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য হ'ল টকাত ক্ৰমে:
\(160\text{},\; 140\text{},\; 120\text{},\; 100\text{},\; 80\text{},\; 60\text{},\; 40\text{}\)।
17. এখন বিদ্যালয়ৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে বায়ু প্ৰদূষণ ৰোধৰ উদ্দেশ্যে বিদ্যালয়ৰ চৌপাশে বৃক্ষৰোপণ কৰিবলৈ মনস্থ কৰিলে। এইটো সিদ্ধান্ত লোৱা হ'ল যে প্রতিটো শ্ৰেণীৰ প্ৰতিটো শাখাৰপৰা তেওঁলোক পঢ়া শ্ৰেণীটোৰ সমসংখ্যক বৃক্ষৰোপণ কৰিব। উদাহৰণস্বৰূপে প্ৰথম শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই এজোপা, দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই দুজোপা ইত্যাদিকৈ গৈ সেইদৰে দ্বাদশ শ্রেণীলৈকে বৃক্ষ ৰোপণ কৰিব। প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰে তিনিটাকৈ শাখা আছে। ছাত্র-ছাত্রীবিলাকে মুঠতে কিমান জোপা গছ ৰোপণ কৰিব?
Solution:
যিহেতু প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰে ৩টাকৈ শাখা আছে, গতিকে প্ৰতিটো শ্ৰেণীয়ে ৰোপণ কৰা মুঠ গছৰ সংখ্যা হ'ল:
১ম শ্ৰেণী \(= 1 \times 3 = 3\) জোপা
২য় শ্ৰেণী \(= 2 \times 3 = 6\) জোপা
৩য় শ্ৰেণী \(= 3 \times 3 = 9\) জোপা
\(\dots\)
১২তম শ্ৰেণী \(= 12 \times 3 = 36\) জোপা
গতিকে ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে: \(3, 6, 9, \dots, 36\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 3\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 6 - 3 = 3\)
পদৰ সংখ্যা (মুঠ শ্ৰেণী) \(n = 12\)
অন্তিম পদ \(l = 36\)
\(\therefore\) মুঠ ৰোপণ কৰা গছৰ সংখ্যা (\(S_{12}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)
\(\Rightarrow S_{12} = \frac{12}{2}(3 + 36)\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6 \times 39\)
\(\Rightarrow S_{12} = 234\)
\(\therefore\) ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে মুঠ 234 জোপা গছ ৰোপণ কৰিব।
যিহেতু প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰে ৩টাকৈ শাখা আছে, গতিকে প্ৰতিটো শ্ৰেণীয়ে ৰোপণ কৰা মুঠ গছৰ সংখ্যা হ'ল:
১ম শ্ৰেণী \(= 1 \times 3 = 3\) জোপা
২য় শ্ৰেণী \(= 2 \times 3 = 6\) জোপা
৩য় শ্ৰেণী \(= 3 \times 3 = 9\) জোপা
\(\dots\)
১২তম শ্ৰেণী \(= 12 \times 3 = 36\) জোপা
গতিকে ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে: \(3, 6, 9, \dots, 36\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 3\)
সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 6 - 3 = 3\)
পদৰ সংখ্যা (মুঠ শ্ৰেণী) \(n = 12\)
অন্তিম পদ \(l = 36\)
\(\therefore\) মুঠ ৰোপণ কৰা গছৰ সংখ্যা (\(S_{12}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)
\(\Rightarrow S_{12} = \frac{12}{2}(3 + 36)\)
\(\Rightarrow S_{12} = 6 \times 39\)
\(\Rightarrow S_{12} = 234\)
\(\therefore\) ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে মুঠ 234 জোপা গছ ৰোপণ কৰিব।
18. চিত্র 5.4 ত দেখুওৱাৰ দৰে \(0.5\) ছে.মি., \(1.0\) ছে.মি., \(1.5\) ছে.মি., \(2.0\) ছে.মি., \(\ldots\) ব্যাসাৰ্ধৰ আনুক্রমিকভাৱে থকা কিছুমান অর্ধবৃত্তৰ দ্বাৰা এটি কুণ্ডলী সজোৱা হ'ল। এই অর্ধবৃত্তবোৰৰ কেন্দ্ৰ \(A\) ত আৰম্ভ। ই এটাৰ পিছত এটাকৈ ক্রমে \(A,\;B\) কৈ আছে। \(13\)টা একাদিক্রমে থকা অর্ধবৃত্তৰ দ্বাৰা গঠিত এনে এটা কুণ্ডলীৰ মুঠ দৈর্ঘ্য কিমান? \(\left(\text{ধৰা } \pi=\frac{22}{7}\right)\)
[ইংগিত: আনুক্রমিকভাৱে থকা অর্ধবৃত্তসমূহৰ দৈর্ঘ্য \(l_1,\;l_2,\;l_3,\;l_4,\ldots\) আৰু ইহঁতৰ কেন্দ্ৰ ক্রমে \(A,\;B,\;A,\;B,\ldots\)]
Solution:
আমি জানো যে, অর্ধবৃত্তৰ পৰিধি (দৈর্ঘ্য), \(l = \pi r\)
যিহেতু ব্যাসাৰ্ধসমূহ হ'ল: \(r_1 = 0.5\text{ cm},\; r_2 = 1.0\text{ cm},\; r_3 = 1.5\text{ cm},\; \dots\)
গতিকে আনুক্রমিক অৰ্ধবৃত্তসমূহৰ দৈর্ঘ্য হ'ব:
\(l_1 = 0.5\pi\)
\(l_2 = 1.0\pi\)
\(l_3 = 1.5\pi\)
\(\dots\)
এই দৈর্ঘ্যসমূহে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(0.5\pi,\; 1.0\pi,\; 1.5\pi,\; 2.0\pi,\; \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ, \(a = 0.5\pi\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 1.0\pi - 0.5\pi = 0.5\pi\)
মুঠ অৰ্ধবৃত্তৰ সংখ্যা, \(n = 13\)
কুণ্ডলীটোৰ মুঠ দৈর্ঘ্য হ'ল এই ১৩টা পদৰ যোগফল (\(S_{13}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}[2(0.5\pi) + (13-1)0.5\pi]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}[1.0\pi + 12 \times 0.5\pi]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}[1\pi + 6\pi]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 7\pi\)
এতিয়া \(\pi = \frac{22}{7}\) বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 7 \times \frac{22}{7}\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 22\)
\(\Rightarrow S_{13} = 13 \times 11\)
\(\Rightarrow S_{13} = 143\)
\(\therefore\) কুণ্ডলীটোৰ মুঠ দৈর্ঘ্য 143 ছে.মি.।
আমি জানো যে, অর্ধবৃত্তৰ পৰিধি (দৈর্ঘ্য), \(l = \pi r\)
যিহেতু ব্যাসাৰ্ধসমূহ হ'ল: \(r_1 = 0.5\text{ cm},\; r_2 = 1.0\text{ cm},\; r_3 = 1.5\text{ cm},\; \dots\)
গতিকে আনুক্রমিক অৰ্ধবৃত্তসমূহৰ দৈর্ঘ্য হ'ব:
\(l_1 = 0.5\pi\)
\(l_2 = 1.0\pi\)
\(l_3 = 1.5\pi\)
\(\dots\)
এই দৈর্ঘ্যসমূহে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(0.5\pi,\; 1.0\pi,\; 1.5\pi,\; 2.0\pi,\; \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ, \(a = 0.5\pi\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 1.0\pi - 0.5\pi = 0.5\pi\)
মুঠ অৰ্ধবৃত্তৰ সংখ্যা, \(n = 13\)
কুণ্ডলীটোৰ মুঠ দৈর্ঘ্য হ'ল এই ১৩টা পদৰ যোগফল (\(S_{13}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}[2(0.5\pi) + (13-1)0.5\pi]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}[1.0\pi + 12 \times 0.5\pi]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2}[1\pi + 6\pi]\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 7\pi\)
এতিয়া \(\pi = \frac{22}{7}\) বহুৱাই পাওঁ:
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 7 \times \frac{22}{7}\)
\(\Rightarrow S_{13} = \frac{13}{2} \times 22\)
\(\Rightarrow S_{13} = 13 \times 11\)
\(\Rightarrow S_{13} = 143\)
\(\therefore\) কুণ্ডলীটোৰ মুঠ দৈর্ঘ্য 143 ছে.মি.।
19. \(200\) টুকুৰা কাঠ এনেদৰে সজোৱা হ'ল: \(20\) টুকুৰা একেবাৰে তলৰ শাৰীত, তাৰ পিছৰ শাৰীত \(19\) টুকুৰা, তাৰ পিছত \(18\) টুকুৰা ইত্যাদি। (চিত্র 5.5 চোৱা)। \(200\) টুকুৰা কাঠ কিমান শাৰীত সজোৱা হ'ল আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কেইটুকুৰা কাঠ আছে?
Solution:
শাৰীসমূহত থকা কাঠৰ টুকুৰাবোৰে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(20,\; 19,\; 18,\; 17,\; \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ, \(a = 20\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 19 - 20 = -1\)
মুঠ কাঠৰ টুকুৰা (যোগফল), \(S_n = 200\)
ধৰা হ'ল মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা \(= n\)
আমরা জানি যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow 200 = \frac{n}{2}[2(20) + (n-1)(-1)]\)
\(\Rightarrow 400 = n[40 - n + 1]\)
\(\Rightarrow 400 = n[41 - n]\)
\(\Rightarrow 400 = 41n - n^2\)
\(\Rightarrow n^2 - 41n + 400 = 0\)
মধ্যপদ বিভাজন (Middle term splitting) কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow n^2 - 16n - 25n + 400 = 0\)
\(\Rightarrow n(n - 16) - 25(n - 16) = 0\)
\(\Rightarrow (n - 16)(n - 25) = 0\)
\(\Rightarrow n = 16\) অথবা \(n = 25\)
চৰ্ত পৰীক্ষা:
যদি \(n = 25\) হয়, তেন্তে ওপৰৰ শাৰীৰ কাঠ সংখ্যা হ'ব:
\(a_{25} = a + 24d\)
\(\Rightarrow a_{25} = 20 + 24(-1) = 20 - 24 = -4\)
যিহেতু কাঠৰ সংখ্যা ঋণাত্মক হ'ব নোৱাৰে, গতিকে \(n = 25\) গ্ৰহণযোগ্য নহয়।
যদি \(n = 16\) হয়, তেন্তে ওপৰৰ শাৰীৰ কাঠ সংখ্যা হ'ব:
\(a_{16} = a + 15d\)
\(\Rightarrow a_{16} = 20 + 15(-1) = 20 - 15 = 5\)
\(\therefore\) কাঠখিনি মুঠ 16 টা শাৰীত সজোৱা হৈছে আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত 5 টুকুৰা কাঠ আছে।
শাৰীসমূহত থকা কাঠৰ টুকুৰাবোৰে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(20,\; 19,\; 18,\; 17,\; \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ, \(a = 20\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 19 - 20 = -1\)
মুঠ কাঠৰ টুকুৰা (যোগফল), \(S_n = 200\)
ধৰা হ'ল মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা \(= n\)
আমরা জানি যে, \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow 200 = \frac{n}{2}[2(20) + (n-1)(-1)]\)
\(\Rightarrow 400 = n[40 - n + 1]\)
\(\Rightarrow 400 = n[41 - n]\)
\(\Rightarrow 400 = 41n - n^2\)
\(\Rightarrow n^2 - 41n + 400 = 0\)
মধ্যপদ বিভাজন (Middle term splitting) কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow n^2 - 16n - 25n + 400 = 0\)
\(\Rightarrow n(n - 16) - 25(n - 16) = 0\)
\(\Rightarrow (n - 16)(n - 25) = 0\)
\(\Rightarrow n = 16\) অথবা \(n = 25\)
চৰ্ত পৰীক্ষা:
যদি \(n = 25\) হয়, তেন্তে ওপৰৰ শাৰীৰ কাঠ সংখ্যা হ'ব:
\(a_{25} = a + 24d\)
\(\Rightarrow a_{25} = 20 + 24(-1) = 20 - 24 = -4\)
যিহেতু কাঠৰ সংখ্যা ঋণাত্মক হ'ব নোৱাৰে, গতিকে \(n = 25\) গ্ৰহণযোগ্য নহয়।
যদি \(n = 16\) হয়, তেন্তে ওপৰৰ শাৰীৰ কাঠ সংখ্যা হ'ব:
\(a_{16} = a + 15d\)
\(\Rightarrow a_{16} = 20 + 15(-1) = 20 - 15 = 5\)
\(\therefore\) কাঠখিনি মুঠ 16 টা শাৰীত সজোৱা হৈছে আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত 5 টুকুৰা কাঠ আছে।
20. এটা আলু দৌৰ প্ৰতিযোগিতাত এটা বাল্টি আৰম্ভণী বিন্দুত থোৱা আছে আৰু বাল্টিটো প্ৰথম আলুটোৰপৰা \(5\) মি. আঁতৰত আছে। এডাল সৰলৰেখাত \(3\) মি. আঁতৰে আঁতৰে আনবিলাক আলু আছে। ৰেখাডালত মুঠতে \(10\) টা আলু আছে। (চিত্র 5.6 চোৱা)।
এজন প্রতিযোগীয়ে বাল্টিটোৰ কাষৰপৰা দৌৰি গৈ একেবাৰে ওচৰতে পোৱা আলুটো বুটলি লৈ উভতি দৌৰি আহি আলুটো বাল্টিটোত ভৰাই থৈ পুনৰ দৌৰি গৈ ওচৰতে থকা পিছৰ আলুটো বুটলি লৈ আকৌ উভতি দৌৰি আহি একেদৰে বাল্টিটোত থয়। এইদৰে তেওঁ দৌৰি দৌৰি শেষৰ আলুটোও বাল্টিটোত থয়। প্রতিযোগীজনে মুঠতে কিমান দূৰত্ব দৌৰিব লগা হ'ল?
[ইংগিত: প্ৰথমটো আৰু দ্বিতীয়টো আলু বুটলিবলৈ প্রতিযোগীজনে মুঠতে দৌৰিব লগা দূৰত্ব (মিটাৰত) হ'ল \(2\times5 + 2(5+3)\)]
Solution:
প্ৰতিযোগীজনে প্ৰতিটো আলু বুটলি বাল্টিত থবলৈ অহাযোৱা কৰা দুগুণ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব লাগিব।
প্ৰথম আলুটোৰ বাবে দূৰত্ব \(= 2 \times 5 = 10\text{ m}\)
দ্বিতীয় আলুটোৰ বাবে দূৰত্ব \(= 2 \times (5 + 3) = 2 \times 8 = 16\text{ m}\)
তৃতীয় আলুটোৰ বাবে দূৰত্ব \(= 2 \times (5 + 3 + 3) = 2 \times 11 = 22\text{ m}\)
\(\dots\)
এই দূৰত্বসমূহে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(10,\; 16,\; 22,\; \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ, \(a = 10\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 16 - 10 = 6\)
মুঠ আলুৰ সংখ্যা (পদৰ সংখ্যা), \(n = 10\)
প্ৰতিযোগীজনে দৌৰিব লগা মুঠ দূৰত্ব হ'ল এই 10টা পদৰ যোগফল (\(S_{10}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}[2(10) + (10-1)6]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[20 + 9 \times 6]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[20 + 54]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5 \times 74\)
\(\Rightarrow S_{10} = 370\)
\(\therefore\) প্রতিযোগীজনে মুঠ 370 মিটাৰ দূৰত্ব দৌৰিব লগা হ'ল।
প্ৰতিযোগীজনে প্ৰতিটো আলু বুটলি বাল্টিত থবলৈ অহাযোৱা কৰা দুগুণ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব লাগিব।
প্ৰথম আলুটোৰ বাবে দূৰত্ব \(= 2 \times 5 = 10\text{ m}\)
দ্বিতীয় আলুটোৰ বাবে দূৰত্ব \(= 2 \times (5 + 3) = 2 \times 8 = 16\text{ m}\)
তৃতীয় আলুটোৰ বাবে দূৰত্ব \(= 2 \times (5 + 3 + 3) = 2 \times 11 = 22\text{ m}\)
\(\dots\)
এই দূৰত্বসমূহে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) গঠন কৰে:
\(10,\; 16,\; 22,\; \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ, \(a = 10\)
সাধাৰণ অন্তৰ, \(d = 16 - 10 = 6\)
মুঠ আলুৰ সংখ্যা (পদৰ সংখ্যা), \(n = 10\)
প্ৰতিযোগীজনে দৌৰিব লগা মুঠ দূৰত্ব হ'ল এই 10টা পদৰ যোগফল (\(S_{10}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}[2(10) + (10-1)6]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[20 + 9 \times 6]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[20 + 54]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5 \times 74\)
\(\Rightarrow S_{10} = 370\)
\(\therefore\) প্রতিযোগীজনে মুঠ 370 মিটাৰ দূৰত্ব দৌৰিব লগা হ'ল।
21. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম আৰু শেষৰ পদ দুটা ক্রমে \(1\) আৰু \(11\)। যদি পদসমূহৰ যোগফল \(36\) হয়, তেন্তে পদৰ সংখ্যা হ'ব—
(A) \(5\)
(B) \(6\)
(C) \(7\)
(D) \(8\)
(B) \(6\)
(C) \(7\)
(D) \(8\)
Solution:
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ, \(a = 1\)
শেষৰ পদ, \(l = 11\)
যোগফল, \(S_n = 36\)
আমি জানো যে,
\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)
\(\Rightarrow 36 = \frac{n}{2}(1 + 11)\)
\(\Rightarrow 36 = \frac{n}{2}(12)\)
\(\Rightarrow 36 = 6n\)
\(\Rightarrow n = \frac{36}{6}\)
\(\Rightarrow n = 6\)
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (B)।
দিয়া আছে,
প্ৰথম পদ, \(a = 1\)
শেষৰ পদ, \(l = 11\)
যোগফল, \(S_n = 36\)
আমি জানো যে,
\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)
\(\Rightarrow 36 = \frac{n}{2}(1 + 11)\)
\(\Rightarrow 36 = \frac{n}{2}(12)\)
\(\Rightarrow 36 = 6n\)
\(\Rightarrow n = \frac{36}{6}\)
\(\Rightarrow n = 6\)
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (B)।
22. তালিকা মিলোৱা।
| তালিকা I | তালিকা II |
|---|---|
| P) \(n\) টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সমষ্টি | 1) \(n^2\) |
| Q) প্ৰথম পদ \(a\), আৰু সাধাৰণ অন্তৰ \(d\) হ'লে \(n\) তম পদলৈ যোগফল | 2) \(n(n+1)\) |
| R) প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল | 3) \(\frac{n(n+1)}{2}\) |
| S) প্ৰথম \(n\) টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল | 4) \(\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) |
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা—
(A) P → 2, Q → 3, R → 4, S → 1
(B) P → 4, Q → 2, R → 1, S → 3
(C) P → 3, Q → 4, R → 1, S → 2
(D) P → 2, Q → 1, R → 3, S → 4
(B) P → 4, Q → 2, R → 1, S → 3
(C) P → 3, Q → 4, R → 1, S → 2
(D) P → 2, Q → 1, R → 3, S → 4
Solution:
সূত্ৰসমূহ পৰীক্ষা কৰি পাওঁ:
P) প্ৰথম \(n\) টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সমষ্টি \(= \frac{n(n+1)}{2}\) \(\Rightarrow\) (3)
Q) সমান্তৰ প্ৰগতিৰ \(n\) তম পদলৈ যোগফল \(= \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) \(\Rightarrow\) (4)
R) প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল \(= n^2\) \(\Rightarrow\) (1)
S) প্ৰথম \(n\) টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল \(= n(n+1)\) \(\Rightarrow\) (2)
গতিকে শুদ্ধ মিলটো হ'ল: P → 3, Q → 4, R → 1, S → 2।
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (C)।
সূত্ৰসমূহ পৰীক্ষা কৰি পাওঁ:
P) প্ৰথম \(n\) টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সমষ্টি \(= \frac{n(n+1)}{2}\) \(\Rightarrow\) (3)
Q) সমান্তৰ প্ৰগতিৰ \(n\) তম পদলৈ যোগফল \(= \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) \(\Rightarrow\) (4)
R) প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল \(= n^2\) \(\Rightarrow\) (1)
S) প্ৰথম \(n\) টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল \(= n(n+1)\) \(\Rightarrow\) (2)
গতিকে শুদ্ধ মিলটো হ'ল: P → 3, Q → 4, R → 1, S → 2।
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (C)।
23. \(5,\;9,\;13,\;\ldots,\;185\) AP টোৰ বাবে তলত দিয়া কোনটো শুদ্ধ হ'ব?
(i) \(a_n=1+4n\)
(ii) \(a_3+a_4=30\)
(iii) \(S_n=\frac{n}{2}\times190\)
(iv) \(n=43\)
(ii) \(a_3+a_4=30\)
(iii) \(S_n=\frac{n}{2}\times190\)
(iv) \(n=43\)
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা—
(A) (i), (iii) (B) (ii), (iii) (C) (i), (ii), (iii) (D) (i), (ii), (iii), (iv)
Solution:
প্ৰদত্ত AP: \(5, 9, 13, \dots, 185\)
ইয়াত, \(a = 5\), \(d = 9 - 5 = 4\)
উক্তি (i) পৰীক্ষা:
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow a_n = 5 + (n-1)4\)
\(\Rightarrow a_n = 5 + 4n - 4\)
\(\Rightarrow a_n = 1 + 4n\) (গতিকে উক্তি i শুদ্ধ)
উক্তি (iv) পৰীক্ষা:
অন্তিম পদ \(a_n = 185\)
\(\Rightarrow 1 + 4n = 185\)
\(\Rightarrow 4n = 184\)
\(\Rightarrow n = 46\) (গতিকে উক্তি iv ভুল, যিহেতু ইয়াত \(n=43\) দিয়া আছে)
উক্তি (ii) পৰীক্ষা:
\(a_3 = 5 + 2(4) = 13\)
\(a_4 = 5 + 3(4) = 17\)
\(\Rightarrow a_3 + a_4 = 13 + 17 = 30\) (গতিকে উক্তি ii শুদ্ধ)
উক্তি (iii) পৰীক্ষা:
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}(5 + 185)\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2} \times 190\) (গতিকে উক্তি iii শুদ্ধ)
যিহেতু (i), (ii) আৰু (iii) উক্তিকেইটা শুদ্ধ, গতিকে সঠিক বিকল্প হ'ব (C)।
\(\dots\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (C)।
প্ৰদত্ত AP: \(5, 9, 13, \dots, 185\)
ইয়াত, \(a = 5\), \(d = 9 - 5 = 4\)
উক্তি (i) পৰীক্ষা:
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow a_n = 5 + (n-1)4\)
\(\Rightarrow a_n = 5 + 4n - 4\)
\(\Rightarrow a_n = 1 + 4n\) (গতিকে উক্তি i শুদ্ধ)
উক্তি (iv) পৰীক্ষা:
অন্তিম পদ \(a_n = 185\)
\(\Rightarrow 1 + 4n = 185\)
\(\Rightarrow 4n = 184\)
\(\Rightarrow n = 46\) (গতিকে উক্তি iv ভুল, যিহেতু ইয়াত \(n=43\) দিয়া আছে)
উক্তি (ii) পৰীক্ষা:
\(a_3 = 5 + 2(4) = 13\)
\(a_4 = 5 + 3(4) = 17\)
\(\Rightarrow a_3 + a_4 = 13 + 17 = 30\) (গতিকে উক্তি ii শুদ্ধ)
উক্তি (iii) পৰীক্ষা:
\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2}(5 + 185)\)
\(\Rightarrow S_n = \frac{n}{2} \times 190\) (গতিকে উক্তি iii শুদ্ধ)
যিহেতু (i), (ii) আৰু (iii) উক্তিকেইটা শুদ্ধ, গতিকে সঠিক বিকল্প হ'ব (C)।
\(\dots\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (C)।
24. এই প্রশ্নটোত এটা উক্তি (A) আৰু এটা যুক্তি (R) দিয়া আছে।
(B) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য আৰু (R), (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(C) (A) সত্য কিন্তু (R) অসত্য।
(D) (A) অসত্য কিন্তু (R) সত্য।
উক্তি (A): \(11,\;13,\;15,\;17,\;\ldots\) ক্রমিকটোৰ প্ৰথম \(10\) টা পদৰ যোগফল হ'ব \(200\)।
যুক্তি (R): প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল \(n^2\)।
যুক্তি (R): প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল \(n^2\)।
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা :
(A) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য আৰু (R), (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।(B) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য আৰু (R), (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(C) (A) সত্য কিন্তু (R) অসত্য।
(D) (A) অসত্য কিন্তু (R) সত্য।
Solution:
উক্তি (A) পৰীক্ষা:
প্ৰদত্ত প্ৰগতি: \(11, 13, 15, 17, \dots\)
ইয়াত, \(a = 11, d = 2, n = 10\)
\(S_{10} = \frac{10}{2}[2(11) + (10-1)2]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[22 + 9 \times 2]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[22 + 18]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5 \times 40\)
\(\Rightarrow S_{10} = 200\) (গতিকে উক্তি A সত্য)
যুক্তি (R) পৰীক্ষা:
প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় \(n^2\) হয় (এইটো এটা সত্য সূত্ৰ)। কিন্তু উক্তি (A)-ত থকা প্ৰগতিটো প্ৰথম স্বাভাৱিক অযুগ্ম সংখ্যা \(1\)-ৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা নাই, ই \(11\)-ৰ পৰা আৰম্ভ হৈছে। গতিকে (R) যুক্তিটোৱে (A) উক্তিটোক ব্যাখ্যা কৰা নাই (A-ৰ সমাধানত আমি সাধারণ সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সূত্র ব্যৱহাৰ কৰিছোঁ)।
\(\therefore\) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য কিন্তু (R), (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (B)।
উক্তি (A) পৰীক্ষা:
প্ৰদত্ত প্ৰগতি: \(11, 13, 15, 17, \dots\)
ইয়াত, \(a = 11, d = 2, n = 10\)
\(S_{10} = \frac{10}{2}[2(11) + (10-1)2]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[22 + 9 \times 2]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5[22 + 18]\)
\(\Rightarrow S_{10} = 5 \times 40\)
\(\Rightarrow S_{10} = 200\) (গতিকে উক্তি A সত্য)
যুক্তি (R) পৰীক্ষা:
প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় \(n^2\) হয় (এইটো এটা সত্য সূত্ৰ)। কিন্তু উক্তি (A)-ত থকা প্ৰগতিটো প্ৰথম স্বাভাৱিক অযুগ্ম সংখ্যা \(1\)-ৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা নাই, ই \(11\)-ৰ পৰা আৰম্ভ হৈছে। গতিকে (R) যুক্তিটোৱে (A) উক্তিটোক ব্যাখ্যা কৰা নাই (A-ৰ সমাধানত আমি সাধারণ সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সূত্র ব্যৱহাৰ কৰিছোঁ)।
\(\therefore\) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য কিন্তু (R), (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (B)।
25. প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল \(S_1\) আৰু প্ৰথম \(n\) টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল \(S_2\) হ'লে \(\frac{S_1}{S_2}\) ৰ মান হ'ব—
(A) \(\frac{2n}{n+1}\) (B) \(\frac{n+1}{2n}\) (C) \(\frac{n}{n+1}\) (D) \(\frac{n+1}{n}\)
Solution:
আমি জানো যে,
প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল, \(S_1 = n^2\)
প্ৰথম \(n\) টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল, \(S_2 = \frac{n(n+1)}{2}\)
এতিয়া অনুপাত নিৰ্ণয় কৰোঁ:
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \frac{n^2}{\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = n^2 \times \frac{2}{n(n+1)}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \frac{2n^2}{n(n+1)}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \frac{2n}{n+1}\)
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (A)।
আমি জানো যে,
প্ৰথম \(n\) টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল, \(S_1 = n^2\)
প্ৰথম \(n\) টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল, \(S_2 = \frac{n(n+1)}{2}\)
এতিয়া অনুপাত নিৰ্ণয় কৰোঁ:
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \frac{n^2}{\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = n^2 \times \frac{2}{n(n+1)}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \frac{2n^2}{n(n+1)}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2} = \frac{2n}{n+1}\)
\(\therefore\) শুদ্ধ বিকল্পটো হ'ল (A)।
26. এগৰাকী ফলৰ দোকানীয়ে \(240\) টা আপেল থকা কার্টুন এটাৰ পৰা আপেলবোৰ প্ৰথম শাৰীত \(6\) টা, দ্বিতীয় শাৰীত \(10\) টা আৰু তৃতীয় শাৰীত \(14\) টা ইত্যাদিকে আপেলবোৰ সজালে।
(i) আপেলৰ মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা নির্ণয় কৰা।
(ii) সপ্তম আৰু তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ পার্থক্য উলিওৱা।
(iii) শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা নির্ণয় কৰা।
(iv) \(32\) টা আপেল থকা কোনো শাৰী আছেনে নিৰীক্ষণ কৰা।
(ii) সপ্তম আৰু তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ পার্থক্য উলিওৱা।
(iii) শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা নির্ণয় কৰা।
(iv) \(32\) টা আপেল থকা কোনো শাৰী আছেনে নিৰীক্ষণ কৰা।
(i) আপেলৰ মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা নির্ণয় কৰা।
Solution:
শাৰীসমূহত থকা আপেলৰ সংখ্যাই এটা AP গঠন কৰে: \(6, 10, 14, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 6\), সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 10 - 6 = 4\)
মুঠ আপেলৰ সংখ্যা (যোগফল), \(S_n = 240\)
ধৰা হ'ল মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা \(= n\)
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow 240 = \frac{n}{2}[2(6) + (n-1)4]\)
\(\Rightarrow 240 \times 2 = n[12 + 4n - 4]\)
\(\Rightarrow 480 = n[4n + 8]\)
\(\Rightarrow 480 = 4n^2 + 8n\)
উভয় পক্ষক 4 ৰে হৰণ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow n^2 + 2n - 120 = 0\)
\(\Rightarrow n^2 + 12n - 10n - 120 = 0\)
\(\Rightarrow n(n + 12) - 10(n + 12) = 0\)
\(\Rightarrow (n - 10)(n + 12) = 0\)
\(\Rightarrow n = 10\) অথবা \(n = -12\)
যিহেতু শাৰীৰ সংখ্যা ঋণাত্মক হ'ব নোৱাৰে, গতিকে \(n = 10\)।
\(\therefore\) আপেলৰ মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা হ'ল 10 টা।
শাৰীসমূহত থকা আপেলৰ সংখ্যাই এটা AP গঠন কৰে: \(6, 10, 14, \dots\)
ইয়াত, প্ৰথম পদ \(a = 6\), সাধাৰণ অন্তৰ \(d = 10 - 6 = 4\)
মুঠ আপেলৰ সংখ্যা (যোগফল), \(S_n = 240\)
ধৰা হ'ল মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা \(= n\)
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(\Rightarrow 240 = \frac{n}{2}[2(6) + (n-1)4]\)
\(\Rightarrow 240 \times 2 = n[12 + 4n - 4]\)
\(\Rightarrow 480 = n[4n + 8]\)
\(\Rightarrow 480 = 4n^2 + 8n\)
উভয় পক্ষক 4 ৰে হৰণ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow n^2 + 2n - 120 = 0\)
\(\Rightarrow n^2 + 12n - 10n - 120 = 0\)
\(\Rightarrow n(n + 12) - 10(n + 12) = 0\)
\(\Rightarrow (n - 10)(n + 12) = 0\)
\(\Rightarrow n = 10\) অথবা \(n = -12\)
যিহেতু শাৰীৰ সংখ্যা ঋণাত্মক হ'ব নোৱাৰে, গতিকে \(n = 10\)।
\(\therefore\) আপেলৰ মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা হ'ল 10 টা।
(ii) সপ্তম আৰু তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ পার্থক্য উলিওৱা।
Solution:
সপ্তম শাৰীৰ আপেল সংখ্যা, \(a_7 = a + 6d\)
তৃতীয় শাৰীৰ আপেল সংখ্যা, \(a_3 = a + 2d\)
নিৰ্ণেয় পাৰ্থক্য \(= a_7 - a_3\)
\(\Rightarrow a_7 - a_3 = (a + 6d) - (a + 2d)\)
\(\Rightarrow a_7 - a_3 = 4d\)
\(\Rightarrow a_7 - a_3 = 4 \times 4 = 16\)
\(\therefore\) সপ্তম আৰু তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ পার্থক্য হ'ল 16 টা।
সপ্তম শাৰীৰ আপেল সংখ্যা, \(a_7 = a + 6d\)
তৃতীয় শাৰীৰ আপেল সংখ্যা, \(a_3 = a + 2d\)
নিৰ্ণেয় পাৰ্থক্য \(= a_7 - a_3\)
\(\Rightarrow a_7 - a_3 = (a + 6d) - (a + 2d)\)
\(\Rightarrow a_7 - a_3 = 4d\)
\(\Rightarrow a_7 - a_3 = 4 \times 4 = 16\)
\(\therefore\) সপ্তম আৰু তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ পার্থক্য হ'ল 16 টা।
(iii) শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা নির্ণয় কৰা।
Solution:
যিহেতু মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা \(n = 10\), গতিকে শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীটো হ'ব:
\(\Rightarrow 10 - 3 + 1 = 8\) তম শাৰী।
এতিয়া, অষ্টম শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা (\(a_8\)):
\(a_8 = a + 7d\)
\(\Rightarrow a_8 = 6 + 7(4)\)
\(\Rightarrow a_8 = 6 + 28 = 34\)
\(\therefore\) শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা হ'ল 34 টা।
যিহেতু মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা \(n = 10\), গতিকে শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীটো হ'ব:
\(\Rightarrow 10 - 3 + 1 = 8\) তম শাৰী।
এতিয়া, অষ্টম শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা (\(a_8\)):
\(a_8 = a + 7d\)
\(\Rightarrow a_8 = 6 + 7(4)\)
\(\Rightarrow a_8 = 6 + 28 = 34\)
\(\therefore\) শেষৰ ফালৰ পৰা তৃতীয় শাৰীত থকা আপেলৰ সংখ্যা হ'ল 34 টা।
(iv) \(32\) টা আপেল থকা কোনো শাৰী আছেনে নিৰীক্ষণ কৰা।
Solution:
ধৰা হ'ল \(n\) তম শাৰীত 32 টা আপেল আছে।
\(\Rightarrow a_n = 32\)
\(\Rightarrow a + (n-1)d = 32\)
\(\Rightarrow 6 + (n-1)4 = 32\)
\(\Rightarrow 4(n-1) = 32 - 6\)
\(\Rightarrow 4(n-1) = 26\)
\(\Rightarrow n-1 = \frac{26}{4} = 6.5\)
\(\Rightarrow n = 6.5 + 1 = 7.5\)
যিহেতু শাৰীৰ সংখ্যা \(n\) সদায় এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (integer) হ'ব লাগিব, কিন্তু ইয়াত ভগ্নাংশ ওলাইছে, গতিকে 32 টা আপেল থকা কোনো শাৰী থাকিব নোৱাৰে।
\(\therefore\) 32 টা আপেল থকা কোনো শাৰী নাই।
ধৰা হ'ল \(n\) তম শাৰীত 32 টা আপেল আছে।
\(\Rightarrow a_n = 32\)
\(\Rightarrow a + (n-1)d = 32\)
\(\Rightarrow 6 + (n-1)4 = 32\)
\(\Rightarrow 4(n-1) = 32 - 6\)
\(\Rightarrow 4(n-1) = 26\)
\(\Rightarrow n-1 = \frac{26}{4} = 6.5\)
\(\Rightarrow n = 6.5 + 1 = 7.5\)
যিহেতু শাৰীৰ সংখ্যা \(n\) সদায় এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (integer) হ'ব লাগিব, কিন্তু ইয়াত ভগ্নাংশ ওলাইছে, গতিকে 32 টা আপেল থকা কোনো শাৰী থাকিব নোৱাৰে।
\(\therefore\) 32 টা আপেল থকা কোনো শাৰী নাই।
Sudev Chandra Das (B.Sc. Mathematics)
Hi! I'm Sudev Chandra Das, Founder of Digital Pipal Academy. I've dedicated myself to guiding students toward better education. I believe, 'Success comes from preparation, hard work, and learning from failure.' Let’s embark on a journey of growth and digital excellence together!.
HSLC পৰীক্ষাৰ বাবে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
শিক্ষাৰ্থীয়ে মনত ৰাখিব লাগিব:
Sum Formula
nth Term Formula
Common Difference
AP Word Problem
Formula-based Calculation
nth Term Formula
Common Difference
AP Word Problem
Formula-based Calculation
Arithmetic Progression ৰ বাস্তৱ জীৱনত ব্যৱহাৰ
Arithmetic Progression ব্যৱহাৰ হয়:
Banking Calculation
Salary Increment
Monthly Saving
Business Mathematics
Computer Programming
Engineering Calculation
Salary Increment
Monthly Saving
Business Mathematics
Computer Programming
Engineering Calculation
এই সমাধানসমূহৰ সুবিধা
✅ নতুন SEBA/SCERT Assam 2026–2027 syllabus অনুসৰি
✅ সহজ Assamese ভাষাত ব্যাখ্যা
✅ Step-by-step সমাধান
✅ HSLC Exam Focused
✅ Important Formula Included
✅ শিক্ষাৰ্থী-বান্ধৱ উপস্থাপন
শেষ কথা
এই Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions Exercise 5.3 Solutions শিক্ষাৰ্থীক AP ৰ যোগফল আৰু Formula সহজে বুজিবলৈ সহায় কৰিব। নিয়মিত অনুশীলন কৰিলে HSLC পৰীক্ষাত ভাল নম্বৰ লাভ কৰিব পাৰিব।
বিশেষকৈ এই বিষয়সমূহ ভালদৰে আয়ত্ত কৰক:
Sum Formula
nth Term Formula
Common Difference
AP Word Problem
Formula-based Calculation
nth Term Formula
Common Difference
AP Word Problem
Formula-based Calculation
যাতে Mathematics অধিক সহজ আৰু মজাদাৰ হয়।
Class 10 Maths Chapter 5 – Arithmetic Progressions (Exercise 5.3) FAQs (অসমীয়া মাধ্যম)
Exercise 5.3 ত Arithmetic Progression (AP) ৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল উলিওৱা শিকোৱা হয়।
👉 ইয়াত AP ৰ sum formula ব্যৱহাৰ কৰি যোগফল সহজে গণনা কৰিব পাৰি।
AP ৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল উলিওৱাৰ formula হৈছে:
:contentReference[oaicite:0]{index=0}
📘 ইয়াত a = প্ৰথম পদ, d = common difference আৰু n = পদৰ সংখ্যা।
হয়, Exercise 5.3 HSLC পৰীক্ষাৰ বাবে অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ। ইয়াৰ পৰা প্ৰায়ে ৩–৫ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন অহে।
🎯 Formula সঠিকভাৱে ব্যৱহাৰ কৰিলে পূৰ্ণ নম্বৰ লাভ কৰিব পাৰি।
এটা পদৰ পৰা পৰৱৰ্তী পদ বিয়োগ কৰিলে যি মান পোৱা যায় তাক common difference বুলি কোৱা হয়।
প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল, AP চিনাক্ত কৰা আৰু বাস্তৱ জীৱনৰ সমস্যাৰ সমাধানধৰ্মী প্ৰশ্ন থাকে।
ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে সাধাৰণতে n, d অথবা a ৰ মান ভুল বহুৱায় আৰু formula ভুল ব্যৱহাৰ কৰে।
🚀 Pro Tip: Formula ত value বহুৱোৱাৰ আগতে সকলো মান ভালদৰে পৰীক্ষা কৰক।
নিয়মিত অনুশীলন, formula মুখস্থ আৰু previous year questions সমাধান কৰাটো অত্যন্ত প্ৰয়োজনীয়।
⭐ প্ৰতিদিনে Maths practice কৰিলে speed আৰু confidence বৃদ্ধি পায়।
Digital Pipal Academy ত সহজ ভাষাত step-by-step সমাধান, updated syllabus আৰু exam-oriented preparation দিয়া হয়।
🎓 ই ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ concept clear কৰি accuracy আৰু confidence বৃদ্ধি কৰে।
আপুনি Digital Pipal Academy ত Exercise 5.3 ৰ সম্পূৰ্ণ step-by-step solution সহজে পাব পাৰে।
.png)
