📘 দশম শ্ৰেণী গণিত (অসমীয়া মাধ্যম)
অধ্যায় ৪ : দ্বিঘাত সমীকৰণ
Get complete Class 10 Maths Chapter 4 Exercise 4.4 solutions in Assamese Medium based on SEBA/SCERT Assam 2026–2027 syllabus. Step-by-step solutions of quadratic equation word problems.
✨ অনুশীলনী ৪.৪ – সম্পূৰ্ণ Step-by-Step সমাধান
মন কৰিবলগীয়া চৰ্তসমূহ:
1. \(b^2 - 4ac > 0\) হ’লে মূলবোৰ বাস্তৱ আৰু অসমান।
2. \(b^2 - 4ac = 0\) হ’লে মূলবোৰ বাস্তৱ আৰু সমান।
3. \(b^2 - 4ac < 0\) হ’লে কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে।
সমাধান:
(i) \(2x^2 - 3x + 5 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = -3, c = 5\)
নিৰ্ণায়ক \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31\)
যিহেতু \(D < 0\), সেয়েহে সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(ii) \(3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0\)
ইয়াত, \(a = 3, b = -4\sqrt{3}, c = 4\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0\)
যিহেতু \(D = 0\), সেয়েহে সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ আৰু সমান মূল আছে।
মূলবোৰ হ’ল: \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2(3)} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
(iii) \(2x^2 - 6x + 3 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = -6, c = 3\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12\)
যিহেতু \(D > 0\), সেয়েহে সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ আৰু অসমান মূল আছে।
\(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\)
(iv) \(9x^2 - 6x + 1 = 0\)
ইয়াত, \(a = 9, b = -6, c = 1\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-6)^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0\)
যিহেতু \(D = 0\), মূলবোৰ বাস্তৱ আৰু সমান।
\(x = \frac{-(-6)}{2(9)} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\)
(v) \(3x^2 - 5x + 12 = 0\)
ইয়াত, \(a = 3, b = -5, c = 12\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-5)^2 - 4(3)(12) = 25 - 144 = -119\)
যিহেতু \(D < 0\), সেয়েহে কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vi) \(x^2 + x + 1 = 0\)
ইয়াত, \(a = 1, b = 1, c = 1\)
নিৰ্ণায়ক \(D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3\)
যিহেতু \(D < 0\), সেয়েহে কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vii) \(x^2 - 2\sqrt{3}x - 9 = 0\)
ইয়াত, \(a = 1, b = -2\sqrt{3}, c = -9\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-9) = 12 + 36 = 48\)
যিহেতু \(D > 0\), সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ আৰু অসমান মূল আছে।
\(x = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{48}}{2(1)} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{2}\)
হয় \(x = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) নতুবা \(x = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(3\sqrt{3}, -\sqrt{3}\)
(viii) \(2x^2 - 3\sqrt{3}x + 3 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = -3\sqrt{3}, c = 3\)
নিৰ্ণায়ক \(D = (-3\sqrt{3})^2 - 4(2)(3) = 27 - 24 = 3\)
যিহেতু \(D > 0\), সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ আৰু অসমান মূল আছে।
\(x = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{4}\)
হয় \(x = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\) নতুবা \(x = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
নিৰ্ণেয় মূল: \(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\)
মন কৰিবলগীয়া চৰ্ত: এটা দ্বিঘাত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে যদিহে ইয়াৰ নিৰ্ণায়ক \(D = b^2 - 4ac = 0\) হয়।
সমাধান:
(i) \(2x^2 + kx + 3 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = k, c = 3\)
সমান মূলৰ বাবে, \(b^2 - 4ac = 0\)
\(\Rightarrow k^2 - 4(2)(3) = 0\)
\(\Rightarrow k^2 - 24 = 0\)
\(\Rightarrow k^2 = 24\)
\(\Rightarrow k = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}\)
উত্তৰ: \(k = \pm 2\sqrt{6}\)
(ii) \(kx(x - 2) + 6 = 0\)
\(\Rightarrow kx^2 - 2kx + 6 = 0\)
ইয়াত, \(a = k, b = -2k, c = 6\)
সমান মূলৰ বাবে, \(b^2 - 4ac = 0\)
\(\Rightarrow (-2k)^2 - 4(k)(6) = 0\)
\(\Rightarrow 4k^2 - 24k = 0\)
\(\Rightarrow 4k(k - 6) = 0\)
ইয়াত \(k \ne 0\) (যিহেতু \(k=0\) হ'লে ই দ্বিঘাত সমীকৰণ হৈ নাথাকিব)।
গতিকে, \(k - 6 = 0 \Rightarrow k = 6\)
উত্তৰ: \(k = 6\)
(iii) \(x^2 - (k + 4)x + 2k + 5 = 0\)
ইয়াত, \(a = 1, b = -(k + 4), c = (2k + 5)\)
সমান মূলৰ বাবে, \(b^2 - 4ac = 0\)
\(\Rightarrow [-(k + 4)]^2 - 4(1)(2k + 5) = 0\)
\(\Rightarrow k^2 + 8k + 16 - 8k - 20 = 0\)
\(\Rightarrow k^2 - 4 = 0\)
\(\Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2\)
উত্তৰ: \(k = \pm 2\)
(iv) \(2x^2 + 8x - k^3 = 0\)
ইয়াত, \(a = 2, b = 8, c = -k^3\)
সমান মূলৰ বাবে, \(b^2 - 4ac = 0\)
\(\Rightarrow 8^2 - 4(2)(-k^3) = 0\)
\(\Rightarrow 64 + 8k^3 = 0\)
\(\Rightarrow 8k^3 = -64\)
\(\Rightarrow k^3 = -8 \Rightarrow k = -2\)
উত্তৰ: \(k = -2\)
(v) \((k - 2)x^2 + 6x + 9 = 0\)
ইয়াত, \(a = k - 2, b = 6, c = 9\)
সমান মূলৰ বাবে, \(b^2 - 4ac = 0\)
\(\Rightarrow 6^2 - 4(k - 2)(9) = 0\)
\(\Rightarrow 36 - 36(k - 2) = 0\)
\(\Rightarrow 1 - (k - 2) = 0\)
\(\Rightarrow 1 - k + 2 = 0 \Rightarrow 3 - k = 0 \Rightarrow k = 3\)
উত্তৰ: \(k = 3\)
(vi) \((k - 12)x^2 + 2(k - 12)x + 2 = 0\)
ইয়াত, \(a = k - 12, b = 2(k - 12), c = 2\)
সমান মূলৰ বাবে, \(b^2 - 4ac = 0\)
\(\Rightarrow [2(k - 12)]^2 - 4(k - 12)(2) = 0\)
\(\Rightarrow 4(k - 12)^2 - 8(k - 12) = 0\)
\(\Rightarrow 4(k - 12) [ (k - 12) - 2 ] = 0\)
\(\Rightarrow 4(k - 12) (k - 14) = 0\)
যিহেতু \(k \ne 12\) (দ্বিঘাত সমীকৰণৰ বাবে), সেয়েহে \(k - 14 = 0 \Rightarrow k = 14\)।
উত্তৰ: \(k = 14\)
3. প্ৰস্থতকৈ দীঘ দুগুণ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্রস্তুত কৰাটো সম্ভৱ হ'বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বৰ্গমিটাৰ হয়? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰাহ’ল আয়তাকাৰ বাগিছাখনৰ প্ৰস্থ = \(x\) মিটাৰ।\(\therefore\) বাগিছাখনৰ দীঘ = \(2x\) মিটাৰ।
প্ৰশ্নমতে, কালি = \(800\)
\(\Rightarrow \text{Length} \times \text{Breadth} = 800\)
\(\Rightarrow 2x \times x = 800\)
\(\Rightarrow 2x^2 = 800\)
\(\Rightarrow x^2 = 400\)
\(\Rightarrow x = \sqrt{400} = 20\)
যিহেতু \(x\) ৰ মান এটা বাস্তৱ সংখ্যা, গতিকে এনে বাগিছা এখনৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱ।
উত্তৰ: বাগিছাখনৰ প্ৰস্থ 20 মিটাৰ আৰু দীঘ (2 \(\times\) 20) = 40 মিটাৰ।
4. তলৰ পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ হয়নে? যদি হয়, তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স নিৰ্ণয় কৰা।
দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ। চাৰি বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল (বছৰত) আছিল 48।
সমাধান:
ধৰাহ’ল এজন বন্ধুৰ বৰ্তমান বয়স = \(x\) বছৰ।গতিকে আনজন বন্ধুৰ বৰ্তমান বয়স = \((20 - x)\) বছৰ।
4 বছৰ আগতে:
প্ৰথমজনৰ বয়স আছিল = \((x - 4)\) বছৰ।
দ্বিতীয়জনৰ বয়স আছিল = \((20 - x - 4) = (16 - x)\) বছৰ।
প্ৰশ্নমতে,
\((x - 4)(16 - x) = 48\)
\(\Rightarrow 16x - x^2 - 64 + 4x = 48\)
\(\Rightarrow -x^2 + 20x - 64 - 48 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 - 20x + 112 = 0\)
ইয়াত, নিৰ্ণায়ক \(D = b^2 - 4ac\)
\(\Rightarrow D = (-20)^2 - 4(1)(112)\)
\(\Rightarrow D = 400 - 448 = -48\)
যিহেতু \(D < 0\), সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই। গতিকে দিয়া পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ নহয়।
5. পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বৰ্গমিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱনে? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰাহ’ল উদ্যানখনৰ দীঘ = \(l\) আৰু প্ৰস্থ = \(b\)।পৰিসীমা = \(2(l + b) = 80 \Rightarrow l + b = 40\)
\(\therefore b = (40 - l)\)
কালি = \(l \times b = 400\)
\(\Rightarrow l(40 - l) = 400\)
\(\Rightarrow 40l - l^2 = 400\)
\(\Rightarrow l^2 - 40l + 400 = 0\)
\(\Rightarrow (l - 20)^2 = 0\)
\(\Rightarrow l = 20\)
যিহেতু \(l\) ৰ মান এটা বাস্তৱ সংখ্যা, গতিকে এনে উদ্যান এখনৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱ।
দীঘ = 20 মিটাৰ।
প্ৰস্থ = (40 - 20) = 20 মিটাৰ।
উত্তৰ: উদ্যানখনৰ দীঘ 20 মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ 20 মিটাৰ। (অৰ্থাৎ ই এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ)
(b) দুটা সমান মূল আছে
(c) দুটা অদ্বিতীয় (বাস্তৱ আৰু অসমান) মূল আছে
(d) দুটাতকৈ বেছি বাস্তৱ মূল আছে
সমাধান:
দিয়া আছে, \(9x^2 - 6x - 2 = 0\)
ইয়াত, \(a = 9, b = -6, c = -2\)
নিৰ্ণায়ক \(D = b^2 - 4ac\)
\(\Rightarrow D = (-6)^2 - 4(9)(-2)\)
\(\Rightarrow D = 36 + 72 = 108\)
যিহেতু \(D > 0\), গতিকে সমীকৰণটোৰ দুটা বাস্তৱ আৰু অসমান মূল আছে।
শুদ্ধ উত্তৰ: (c)
| স্তম্ভ I (সমীকৰণ) | স্তম্ভ II (মূলৰ প্ৰকৃতি) |
|---|---|
| P. \(x^2 - 2x + 3 = 0\) | (i) মূলকেইটা বাস্তৱ আৰু অপৰিমেয় |
| Q. \(3x^2 - 2x + \frac{1}{3} = 0\) | (ii) মূলকেইটা বাস্তৱ আৰু অসমান |
| R. \(x^2 - 4x + 3 = 0\) | (iii) মূলকেইটা বাস্তৱ নহয় |
| S. \(2x^2 - x - 4 = 0\) | (iv) মূলকেইটা বাস্তৱ আৰু সমান |
বিশ্লেষণ:
2. Q: \(D = (-2)^2 - 4(3)(\frac{1}{3}) = 4 - 4 = 0\) → (iv)
3. R: \(D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0\) → (ii)
4. S: \(D = (-1)^2 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33 > 0\) → (i)
শুদ্ধ বিকল্প বাছি উলিওৱা:
(b) P → (iii), Q → (iv), R → (ii), S → (i)
(c) P → (iv), Q → (iii), R → (i), S → (ii)
(d) P → (ii), Q → (iv), R → (i), S → (iii)
উক্তি (A): \((k - 1)x^2 - 10x + 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল আনটোৰ অনোন্যক হ'লে \(k = 4\) হ'ব।
যুক্তি (R): \(ax^2 + bx + c = 0,\; (a \ne 0)\) দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল আনটোৰ অনোন্যক হ'ব যদিহে \(a = c\)।
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা:
(b) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই শুদ্ধ আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(c) উক্তি (A) শুদ্ধ কিন্তু যুক্তি (R) অশুদ্ধ।
(d) উক্তি (A) অশুদ্ধ কিন্তু যুক্তি (R) শুদ্ধ।
সমাধান আৰু বিশ্লেষণ:
যুক্তি (R) পৰীক্ষা:
ধৰাহ’ল \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকৰণটোৰ এটা মূল \(\alpha\), গতিকে আনটো মূল হ’ব \(\frac{1}{\alpha}\)।
আমি জানো যে, মূলবোৰৰ গুণফল = \(\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow \alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow 1 = \frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow a = c\)
গতিকে, যুক্তি (R) শুদ্ধ।
উক্তি (A) পৰীক্ষা:
দিয়া সমীকৰণ: \((k - 1)x^2 - 10x + 3 = 0\)
ইয়াত, \(a = (k - 1)\) আৰু \(c = 3\)।
যিহেতু এটা মূল আনটোৰ অনোন্যক, গতিকে \(a = c\) হ’ব লাগিব।
\(\Rightarrow k - 1 = 3\)
\(\Rightarrow k = 3 + 1\)
\(\Rightarrow k = 4\)
গতিকে, উক্তি (A) শুদ্ধ।
শুদ্ধ উত্তৰ: (a)
🏫 Digital Pipal Academy ৰ পৰা
অনুশীলনী ৪.৪ হৈছে দ্বিঘাত সমীকৰণ অধ্যায়ৰ এটা অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ অংশ। এই Exercise ত শিক্ষাৰ্থীসকলে Discriminant (বিচ্ছেদক) ৰ সহায়ত দ্বিঘাত সমীকৰণৰ মূলসমূহৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰিবলৈ শিকে।
এই অধ্যায়টো Board Exam ৰ বাবে অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ, কাৰণ ইয়াৰ পৰা প্ৰায় প্ৰতিবছৰে প্রশ্ন আহে। যদি আপুনি Discriminant ৰ ধারণাটো ভালদৰে বুজি পায়, তেন্তে এই Exercise অতি সহজ হৈ পৰিব।
👉 Digital Pipal Academy ৰ অভিজ্ঞ শিক্ষকসকলে সকলো প্রশ্ন সহজ, স্পষ্ট আৰু পৰীক্ষামুখী পদ্ধতিত সমাধান কৰি দিছে।
💡 মনত ৰাখিবলগীয়া গুৰুত্বপূৰ্ণ কথা
✔ সমীকৰণ সদায় সাধাৰণ ৰূপত লিখিব
✔ a, b, c ৰ মান সঠিকভাৱে চিনাক্ত কৰিব
✔ Discriminant সাৱধানে নিৰ্ণয় কৰিব
✔ D ৰ চিহ্ন (+, –, 0) ভালদৰে লক্ষ্য কৰিব
✔ উত্তৰ স্পষ্টভাৱে লিখিব
🎯 পৰীক্ষাৰ বাবে বিশেষ গুৰুত্ব
📌 HSLC/SEBA Board Exam ৰ বাবে অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ
📌 Short আৰু Long Answer দুয়ো ধৰণৰ প্রশ্ন আহে
📌 সূত্র ভালদৰে মনত ৰাখিলে সহজে পূৰ্ণ নম্বৰ পোৱা যায়
📚 অনুশীলনী ৪.৪ কিয় গুৰুত্বপূৰ্ণ?
এই Exercise ৰ সহায়ত শিক্ষাৰ্থীসকলে—
✅ মূলসমূহৰ প্ৰকৃতি সহজে বুজিব পাৰে
✅ Algebra ৰ ভিত্তি শক্তিশালী হয়
✅ Higher Mathematics ৰ বাবে প্রস্তুতি ল’ব পাৰে
✅ Problem Solving Skill উন্নত হয়
🌐 সম্পূৰ্ণ অনুশীলনী ৪.৪ সমাধান
👉 সকলো প্রশ্নৰ সম্পূৰ্ণ আৰু সহজ সমাধান পাব—
📣 Digital Pipal Academy ৰ সৈতে যুক্ত থাকক
📺 YouTube: Digital Pipal Academy
📸 Instagram: @pipalacademy
❤️ শেষ কথা
Discriminant ৰ ধারণা এবাৰ ভালদৰে বুজি পালে Exercise 4.4 অত্যন্ত সহজ হৈ পৰে। নিয়মিত অনুশীলন কৰক আৰু প্রতিটো step স্পষ্টকৈ লিখাৰ অভ্যাস গঢ়ি তোলক।
📘 Practice + Concept + Revision = Mathematics ত Full Marks 💯
Class 10 Maths Chapter 4 – Quadratic Equations (Exercise 4.4) FAQs (অসমীয়া মাধ্যম)
Exercise 4.4 ত Quadratic Formula ব্যৱহাৰ কৰি Quadratic Equation সমাধান কৰা শিকোৱা হয়।
Quadratic Formula হৈছে এটা বিশেষ সূত্র যাৰ সহায়ত ax² + bx + c = 0 ধৰণৰ সমীকৰণৰ roots উলিয়াব পাৰি।
::contentReference[oaicite:0]{index=0}হয়, এই exercise টো HSLC পৰীক্ষাৰ বাবে অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ। ইয়াৰ পৰা formula-based প্ৰশ্ন অহাৰ সম্ভাৱনা বেছি থাকে।
যেতিয়া factorization বা Completing the Square Method সহজ নহয়, তেতিয়া Quadratic Formula ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
Discriminant হৈছে quadratic formula ৰ square root ৰ ভিতৰৰ অংশ।
:contentReference[oaicite:1]{index=1}ই equation ৰ roots ৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ধাৰণ কৰাত সহায় কৰে।
ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে সাধাৰণতে a, b, c ৰ মান ভুলকৈ substitute কৰে অথবা square root simplify কৰোঁতে ভুল কৰে।
নিয়মিত practice, formula মুখস্থ আৰু বিভিন্ন ধৰণৰ sums সমাধান কৰিলে সহজে ভাল নম্বৰ লাভ কৰিব পাৰি।
Digital Pipal Academy ত সহজ ভাষাত step-by-step solution, exam-focused preparation আৰু updated syllabus অনুসৰি পাঠ দিয়া হয়।
আপুনি Digital Pipal Academy ত Exercise 4.4 ৰ সম্পূৰ্ণ step-by-step solution সহজে পাব পাৰে।
.png)
