SCERT Assam ASSEB/SEBA Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 – Quadratic Equations Exercise 4.1 (Assamese Medium)
Class 10 ৰ গণিতৰ এটা অত্যন্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ অধ্যায় হৈছে দ্বিঘাত সমীকৰণ (Quadratic Equation)। এই অধ্যায়টো বুজি নাপালে আগলৈ বহুতো অধ্যায় কঠিন লাগিব পাৰে। সেইবাবে আমি Digital Pipal Academy ত অভিজ্ঞ শিক্ষকসকলৰ সহায়ত এই Exercise 4.1 ৰ সকলো প্রশ্ন সহজ আৰু পৰিষ্কাৰ পদ্ধতিত সমাধান কৰি দিছোঁ।
✨ Exercise 4.1 ত কি শিকা যাব
এই অনুশীলনীত তুমি শিকিবা—
সাধাৰণ ৰূপলৈ ৰূপান্তৰ কৰা
মান চিনাক্ত কৰা
সমীকৰণটো দ্বিঘাত নে নহয় পৰীক্ষা কৰা
📚 অনুশীলনী 4.1 – সম্পূৰ্ণ সমাধান
(i) \((x + 1)^2 = 2(x - 3)\)
(ii) \(x^2 - 2x = (-2)(3 - x)\)
(iii) \((x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)\)
(iv) \((x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)\)
(v) \((2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)\)
(vi) \(x^2 + 3x + 1 = (x - 2)^2\)
(vii) \((x + 2)^3 = 2x(x^2 - 1)\)
(viii) \(x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x - 2)^3\)
সমাধান:
(i) দিয়া আছে, \((x + 1)^2 = 2(x - 3)\)
\(\Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 2x - 6\) [যিহেতু \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)]
\(\Rightarrow x^2 + 7 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটো \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ,
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(ii) দিয়া আছে, \(x^2 - 2x = (-2)(3 - x)\)
\(\Rightarrow x^2 - 2x = -6 + 2x\)
\(\Rightarrow x^2 - 4x + 6 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটো \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ,
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(iii) দিয়া আছে, \((x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)\)
পূৰণ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow x^2 + x - 2x - 2 = x^2 + 3x - x - 3\)
\(\Rightarrow x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3\)
\(\Rightarrow -3x + 1 = 0\) বা \(3x - 1 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটো \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ নহয়,
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
(iv) দিয়া আছে, \((x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)\)
\(\Rightarrow 2x^2 + x - 6x - 3 = x^2 + 5x\)
\(\Rightarrow 2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x\)
\(\Rightarrow x^2 - 10x - 3 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটো \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ,
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(v) দিয়া আছে, \((2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)\)
\(\Rightarrow 2x^2 - 6x - x + 3 = x^2 - x + 5x - 5\)
\(\Rightarrow 2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5\)
\(\Rightarrow x^2 - 11x + 8 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটো \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ,
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(vi) দিয়া আছে, \(x^2 + 3x + 1 = (x - 2)^2\)
\(\Rightarrow x^2 + 3x + 1 = x^2 - 4x + 4\) [যিহেতু \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)]
\(\Rightarrow 7x - 3 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটো \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ নহয়,
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
(vii) দিয়া আছে, \((x + 2)^3 = 2x(x^2 - 1)\)
\(\Rightarrow x^3 + 3(x)^2(2) + 3(x)(2)^2 + (2)^3 = 2x^3 - 2x\)
\(\Rightarrow x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3 - 2x\)
\(\Rightarrow -x^3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটোৰ উচ্চতম ঘাত ৩, গতিকে ই \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ নহয়।
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
(viii) দিয়া আছে, \(x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x - 2)^3\)
\(\Rightarrow x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 - 3(x)^2(2) + 3(x)(2)^2 - (2)^3\)
\(\Rightarrow x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\)
\(\Rightarrow 2x^2 - 13x + 9 = 0\)
যিহেতু উক্ত সমীকৰণটো \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ,
গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
সমাধান:
(i) আয়তাকাৰ মাটি টুকুৰাৰ কালি 528 বৰ্গ মিটাৰ । মাটি টুকুৰাৰ দীঘ ইয়াৰ পথালিৰ দুগুণতকৈ 1 (মিটাৰত) বেছি । আমি টুকুৰাৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিয়াব লাগে ।
ধৰা হ’ল, আয়তাকাৰ মাটিডৰাৰ প্ৰস্থ = \(x\) মিটাৰ।গতিকে, মাটিডৰাৰ দীঘ = \((2x + 1)\) মিটাৰ।
আমি জানো যে, আয়তৰ কালি = দীঘ \(\times\) প্ৰস্থ = 528 মিটাৰ\(^2\)।
প্ৰশ্নমতে,
\((2x + 1) \times x = 528\)
\(\Rightarrow 2x^2 + x = 528\)
\(\Rightarrow 2x^2 + x - 528 = 0\)
এইটোৱেই হ’ল প্ৰদত্ত সমস্যাটোৰ প্ৰয়োজনীয় দ্বিঘাত সমীকৰণ।
সমাধান:
(ii) দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ পুৰণফল 306 । আমি সংখ্যা দুটা উলিয়াব লাগে।
ধৰা হ’ল, প্ৰথম অখণ্ড সংখ্যাটো = \(x\)।গতিকে, পৰৱৰ্তী ক্ৰমিক ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটো হ’ব = \(x + 1\)।
প্ৰশ্নমতে,
\(x \times (x + 1) = 306\)
\(\Rightarrow x^2 + x = 306\)
\(\Rightarrow x^2 + x - 306 = 0\)
এইটোৱেই হ’ল প্ৰয়োজনীয় দ্বিঘাত সমীকৰণ।
সমাধান:
(iii) ৰামাৰ মাক তেওঁতকৈ 26 বছৰ ডাঙৰ । তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল আজিৰ পৰা 3 বছৰ পিছতে হব’গৈ 360 । ৰামাৰ বৰ্তমান বয়স আমি উলিয়াব লাগে।
ধৰা হ’ল, ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স = \(x\) বছৰ।গতিকে, ৰোহনৰ মাকৰ বৰ্তমান বয়স = \(x + 26\) বছৰ।
৩ বছৰ পিছত,
রোহনৰ বয়স হ’ব = \(x + 3\) বছৰ।
মাকৰ বয়স হ’ব = \(x + 26 + 3 = x + 29\) বছৰ।
প্ৰশ্নমতে,
\((x + 3)(x + 29) = 360\)
\(\Rightarrow x^2 + 29x + 3x + 87 = 360\)
\(\Rightarrow x^2 + 32x + 87 - 360 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 + 32x - 273 = 0\)
এইটোৱেই হ’ল প্ৰয়োজনীয় দ্বিঘাত সমীকৰণ।
সমাধান:
(iv) এখন ৰে’লগাড়ীয়ে 480 কিলোমিটাৰ পথ এটা সমান দ্ৰুতিত ভ্ৰমণ কৰে । যদি এই দ্ৰুতি প্ৰতি ঘন্টাত 8 কি.মি. কম হলহেঁতেন, তেন্তে একে সমান দুৰত্ব আগুৰিবলৈ 3 ঘন্টা বেছি ল’লেহেঁতেন । আমি ৰে’লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি উলিয়াব লাগে ।
ধৰা হ’ল, ৰে’লখনৰ দ্ৰুতি = \(x\) কি.মি./ঘণ্টা।480 কি.মি. অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময় = \(\frac{480}{x}\) ঘণ্টা।
দ্ৰুতি ৮ কি.মি./ঘণ্টা কম হ’লে নতুন দ্ৰুতি হ’ব = \((x - 8)\) কি.মি./ঘণ্টা।
প্ৰশ্নমতে, দ্বিতীয় চৰ্তত সময় ৩ ঘণ্টা বেছি লাগে। গতিকে সময় = \(\left(\frac{480}{x} + 3\right)\) ঘণ্টা।
আমি জানো যে, দ্ৰুতি \(\times\) সময় = দূৰত্ব
\((x - 8) \left(\frac{480}{x} + 3\right) = 480\)
\(\Rightarrow 480 + 3x - \frac{3840}{x} - 24 = 480\)
\(\Rightarrow 3x - \frac{3840}{x} - 24 = 0\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2 - 3840 - 24x}{x} = 0\)
\(\Rightarrow 3x^2 - 24x - 3840 = 0\)
৩-ৰে হৰণ কৰি পাওঁ:
\(\Rightarrow x^2 - 8x - 1280 = 0\)
এইটোৱেই হ’ল প্ৰয়োজনীয় দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(a) \(1\)
(b) \(2\)
(c) \(-2\)
(d) \(0\)
সমাধান:
দিয়া আছে সমীকৰণটো:
\((p - 2)x^2 + 3x + 5 = 0\)
আমি জানো যে এটা সমীকৰণ \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ হ’লেহে তাক দ্বিঘাত সমীকৰণ বুলি কোৱা হয়, য’ত \(a \neq 0\)।
যদি কোনো এটা সমীকৰণ দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়, তেন্তে \(x^2\)-ৰ সহগ শূণ্য হ’ব লাগিব। অৰ্থাৎ:
\(a = 0\)
\(\Rightarrow p - 2 = 0\)
\(\Rightarrow p = 2\)
গতিকে, \(p = 2\) হ’লে সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
শুদ্ধ বিকল্প: (b) \(2\)
(i) \((x + 1)^2 = 2(x - 4)\)
(ii) \((x - 3)(x + 1) = (x + 2)(x - 3)\)
(iii) \((x - 2)^2 + 1 = 2x - 4\)
(iv) \(x(x + 3) + 7 = (x + 2)(x - 2)\)
শুদ্ধটো বাছি উলিওৱা :
(a) (i) আৰু (iv)
(b) (i) আৰু (ii)
(c) (i) আৰু (iii)
(d) (ii) আৰু (iv)
সমাধান:
এটা সমীকৰণ দ্বিঘাত হ’বলৈ হ’লে ই \(ax^2 + bx + c = 0\) আৰ্হিৰ হ’ব লাগিব (য’ত \(a \neq 0\))।
(i) \((x + 1)^2 = 2(x - 4)\)
\(\Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 2x - 8\)
\(\Rightarrow x^2 + 9 = 0\)
ইয়াত \(x^2\) পদটো আছে, গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(ii) \((x - 3)(x + 1) = (x + 2)(x - 3)\)
\(\Rightarrow x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 3x + 2x - 6\)
\(\Rightarrow x^2 - 2x - 3 = x^2 - x - 6\)
\(\Rightarrow -x + 3 = 0\)
\(x^2\) পদটো কেন্সেল হৈ যায়, গতিকে ই দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
(iii) \((x - 2)^2 + 1 = 2x - 4\)
\(\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + 1 = 2x - 4\)
\(\Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0\)
ইয়াত \(x^2\) পদটো আছে, গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(iv) \(x(x + 3) + 7 = (x + 2)(x - 2)\)
\(\Rightarrow x^2 + 3x + 7 = x^2 - 4\)
\(\Rightarrow 3x + 11 = 0\)
\(x^2\) পদটো কেন্সেল হৈ যায়, গতিকে ই দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
গতিকে, কেৱল (i) আৰু (iii) টোহে দ্বিঘাত সমীকৰণ।
শুদ্ধ বিকল্প: (c) (i) আৰু (iii)
💡 গুৰুত্বপূৰ্ণ টিপছ
✔ সদায় সমীকৰণক সাধাৰণ ৰূপত লৈ আহক
✔ Factorization আগতে চেষ্টা কৰক
✔ ভুল হ’লে পুনৰ পৰীক্ষা কৰক
✔ Exam ত step skip নকৰিব
🎯 পৰীক্ষাৰ বাবে গুৰুত্ব
এই অধ্যায়ৰ পৰা ২–৪ নম্বৰৰ প্রশ্ন নিশ্চিত আহে
MCQ, Short Answer আৰু Long Answer সকলো ধৰণৰ প্রশ্ন থাকে
Step-by-step লিখিলে নম্বৰ পূৰ্ণ পোৱা যায়
🌐 সম্পূৰ্ণ Solution চাওক
আপুনি আমাৰ ৱেবচাইটত গৈ Exercise 4.1 ৰ সকলো প্রশ্নৰ পূৰ্ণ সমাধান পাব পাৰে—
👉 Visit: www.pipalacademy.com
📣 আমাৰ সৈতে যুক্ত থাকক
📺 YouTube: Digital Pipal Academy
📸 Instagram: @pipalacademy
দ্বিঘাত সমীকৰণ প্ৰথমে অলপ জটিল লাগিব পাৰে, কিন্তু নিয়মিত অনুশীলনেৰে ই অত্যন্ত সহজ হৈ পৰে। আমাৰ লক্ষ্য হৈছে আপোনালোকক সহজ আৰু বুজাব পৰা শিক্ষাৰ যোগান ধৰা।
📘 Practice কৰক, Repeat কৰক, Success নিশ্চিত।
Class 10 Maths Chapter 4 – Quadratic Equations (Exercise 4.1) FAQs (অসমীয়া মাধ্যম)
এই অনুশীলনীত মূলতঃ দ্বিঘাত সমীকৰণ চিনাক্ত কৰা আৰু সমীকৰণবোৰক standard form (ax² + bx + c = 0) লৈ ৰূপান্তৰ কৰা শিকোৱা হয়।
যি সমীকৰণ ax² + bx + c = 0 ৰূপত থাকে (য’ত a ≠ 0), তাক দ্বিঘাত সমীকৰণ বোলা হয়। ইয়াত x² থকাৰ বাবে এইটো linear নহয়, quadratic হয়।
এই অংশটো যথেষ্ট গুৰুত্বপূৰ্ণ। সাধাৰণতে ১–২ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন অহে আৰু ইয়াত ভুল নকৰিলে সহজে নম্বৰ লাভ কৰিব পাৰি।
যদি কোনো সমীকৰণত x² থাকে আৰু সেইটো ax² + bx + c = 0 ৰূপলৈ আনিব পাৰি, তেন্তে সেইটো নিশ্চিতভাৱে দ্বিঘাত সমীকৰণ।
এই অনুশীলনীত সাধাৰণতে সমীকৰণবোৰক standard form লৈ আনিবলৈ আৰু সেইবোৰ quadratic নে নহয় চিনাক্ত কৰিবলৈ কোৱা হয়।
নিয়মিত অনুশীলন কৰক, সকলো ধাপ স্পষ্টভাৱে বুজক, আৰু আগৰ বছৰৰ প্ৰশ্নবোৰ সমাধান কৰক।
আপুনি Digital Pipal Academy ত Exercise 4.1 ৰ সম্পূৰ্ণ step-by-step সমাধান সহজ আৰু বুজিব পৰা ভাষাত পাব পাৰে।
.png)
){kind=link}